Halveringstider och exponentiella tillväxter

Hur är formlerna för Halveringstider och exponentiella tillväxter?

två uppgifter kanske underlättar:

1) Ett radioaktivt ämne har halveringstiden 7200 år. efter hur lång tid är koncentrationen nere i 1% av den ursprungliga?

2) En kaninpopulation antas tillväxa exponentiellt. Efter 5 år har antal kaniner ökat med en faktor 3. Efter hur lång tid kan populationen väntar blivit 10 gånger så stor?

För radioaktivt sönderfall gäller det att

N = N_0 * exp(-lambda*t)
N är antalet kärnor vid tiden t. N_0 är antalet kärnor vid försökets start och lambda är sönderfallskonstanten.

Halveringstiden fås genom att studera när antalet kärnor har halverats, alltså N = N_0/2

N_0/2 = N_0 * exp(-lambda*t)
1/2 = exp(-lambda*t)
exp(lambda*t) = 2
ln(2) = lambda*t => lambda = ln(2)/t, där t då är halveringstiden eftersom det är just tiden när antalet har halverats vi räknat på. Där kan du lösa ut lambda. Sen använder du samma metodik för att få fram vid vilken tid du är nere på 1%.

Alternativ kan du bara tänka till lite. När det halveras en gång är du nere på 50%. När det har halverats två ggr är du nere på 25%. Hur många gånger måste det halveras för att du ska vara nere på 1%? vikta det med halveringstiden så har du svaret.

På uppgift 1) får jag det till såhär (vilket är fel enligt facit)

m(t) = 2^(-t/7200) => 1/10 = 2^(-t/7200) => ln 1/10 = -t/7200 ln 2 =>
t= 7200( ln10/ln 2 )

Uppgift 2)

5=2^2/T

ln 5= 2/T ln 2

T ln 5 = 2 ln 2 = > T = ln4/ln5 !? Rätt?

Ännu en som jag inte klarar

3) En kaninpopulation antas tillväxa exponentiellt. Efter 5 år har antal kaniner ökat med en faktor 3. Efter hur lång tid kan populationen v'ntas ha blivit 10 gånger så stor?

Det ska vara ln(100)
1% = 0.01

Ansätt y = C*exp(k*t) och plugga in vad du vet.