Hur beräknar man kvadrotkroten ur ett tal?

Allt jag vet om kvadratrötter är att talet i rottecknet är svaret på ett tal som kan multiplicera sig självt - och ge det svaret t ex. 4. För att beräkna √4 finner jag att 2×2=4 är sant, och därmed svaret. Min fråga är dock hur man beräknar kvadratroten utan multiplikationstabellen dvs. √2. Någon som finner svaret genom huvudräkning? Nej, det är 70-80 decimaler om jag minns rätt. Hur ställer jag upp eller på något vis beräknar en avancerad kvadratrot, låt oss säga roten ur 3.

Svaret på √2:

Jag har tittat på Wikipedian men begrep ej. Någon som kan ge en kort och lättbegriplig sammanfattning på hur man beräknar detta?

Länk:

Tack på förhand

Har inte direkt något tips om hur man räknar ut i huvudet, men om du ska räkna ut vad √2 är så kommer du nog få räkna ganska länge.

Jag menade att fråga hur man ställer upp eller på något vis beräknar kvadratroten ur ett tal utan huvudräkning då jag inte är en Rainman än så länge. Huvudräkning sade du?

Man kan använda sig av Newton Rhapson. Antag att vi vill finna roten ur a (med a >= 0), då är det de tal x så att x^2 = a, alltså om vi bildar funktionen:

f(x) = x^2 - a så när f(x) = 0 och x >= 0 så säger Newton-Rhapsons metod (som man kan bevisa) att följden:

x_(n + 1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n) konvergerar mot en rot (under vissa speciella villkor), då med f(x) = x^2 - a så är f'(x) = 2x så vi får följden:

x_(n + 1) = x_n - (x_n^2 - a)/(2x_n)
x_(n + 1) = 2x_n^2/(2x_n) - (x_n^2 - a)/(2x_n)
x_(n + 1) = (2x_n^2 - x_n^2 + a)/2x_n
x_(n + 1) = (x_n^2 + a)/2x_n

Alltså säg att vi vill beräkna roten 5, alltså a=5. Då måste vi börja med en gissning, säg att vi gissar på att roten ur 5 är 1, då är x_0 (fröet ...) = 1. Alltså får vi följden:

(ja, jag vet att jag använt olika många värdesiffror) :P

x_0 = 1
x_1 = (1^2 + 5)/(2*1) = 6/2 = 3
x_2 = (3^2 + 5)/(2*3) = 14/6 ~= 2.3
x_3 = (2.3^2 + 5)/(2*2.3) ~= 2.24
x_4 = (2.24^2 + 5)/(2*2.24) ~= 2.2360714 ...
x_5 = (2.2360714^2 + 5)/(2*2.2360714) ~= 2.23606798
x_6 = (2.23606798^2 + 5)/(2*2.23606798) ~= 2.23606798 (och här ger x_5 = x_6 enligt miniräknaren jag använder) ... varför man stannar (naturligtvis kan man testa att |x_n^2 - a| är mindre än någon specifik gräns man valt om man programmerar). Kvadrerar man detta tal får man då 2.23606798^2 = 5.00000001.

En annan mer (naiv) metod är att använda sig av att stänga in det mellan två tal och använda medelvärdet. Jag visar metoden för sqrt(11).

Vi vet att 3^2 = 9 och 4^2 = 16 alltså är sqrt(11) någonstans mellan 3 och 4, alltså vet vi:

3 < sqrt(11) < 4

Mitten mellan dessa tal är 3.5, och vi har 3.5^2 = 7^2/2^2 = 49/4 = 12.25 varför vi då kan säga att 3 < sqrt(11) < 3.5. Mitten på detta intervall är (3+3.5)/2 = 3.25 och vi har 3.25^2 = 10.5625, alltså är:

3.25 < sqrt(11) < 3.5. Mitten på detta intervall är (3.25+3.5)/2 = 3.375 och vi har 3.375^2 = 11.390625 varför vi har:

3.25 < sqrt(11) < 3.375

Mitten på detta intervall är (3.25 + 3.375)/2 = 3.3125 och vi har 3.3125^2 = 10.9726562 varför vi har:

3.3125 < sqrt(11) < 3.375

Mitten på detta intervall är (3.3125+3.375)/2 = 3.34375 och 3.34375^2 = 11.1806641 varför vi har

3.3125 < sqrt(11) < 3.34375

Mitten på detta intervall är (3.3125 + 3.34375)/2 = 3.328125 och 3.328125^2 = 11.076416 varför vi har:

3.3125 < sqrt(11) < 3.328125

Mitten på detta intervall är (3.3125+3.328125)/2 = 3.3203125 och 3.3203125^2 = 11.0244751 varför vi har:

3.3125 < sqrt(11) < 3.3203125

Mitten på detta intervall är (3.3125 + 3.3203125)/2 = 3.31640625 och 3.31640625^2 = 10.9985504 varför vi har:

3.31640625 < sqrt(11) < 3.3203125

Mitten på detta intervall är (3.31640625 + 3.3203125)/2 = 3.31835938 och 3.31835938^2 = 11.011509 varför vi har:

3.31640625 < sqrt(11) < 3.31835938

Och så fortsätter man tills man är nöjd ... i verkligheten enligt miniräknaren är sqrt(11) = 3.31662479 som inte är jättelångt från värden man funnit med några beräkningar...).

Det finns fler metoder än dessa (prova googla på typ square root algoritm eller liknande så bör du få träffar)

Avancerat? Mina ögon blödde vid första anblicken av ditt inlägg, och på fjärde meningen föll jag ned i fosterställning. Men jag bör titta nämre på detta senare ikväll när jag kommit hem. Det vill säga; om jag repat mig tills dess!

Rita en kurva f(x) i ett kordinatsystem, ta en godtycklig punkt och rita en tangent där. Där tagenten skär x-axeln, gå upp (eller ner) till kurvan f(x) igen, uppreppa och du har använt dig av Newton-Raphsons metod för att approximera nollställen.

Prova göra det algebraiskt, dvs, derivera f(x) i punkten a, ekvationen för tangenten blir då y = f'(a)*x + m osv. Läs mer om metoden på wiki.

-WOW, finns du i verkligheten, hur lär man sig sånt där, jag blev förvirrad när jag kom till ".. finna roten ur a" .

Jag har ingen aning om det stämmer men jag måste säga jag är djupt imponerad. Av intresse och lite off topic, hur lång tid tog det egentligen att skriva svaret på frågan????

En enkel algoritm för att hitta x = roten ur y

1/2*(x+y/x) -> x

Exempel: Med y = 2 och startgissning x = 1 får man följande sekvens av approximationer

1/2*(1+2) = 1.5

1/2*(1.5+2/1.5) = 1.4167

1/2*(1.4167 + 2/1.4167) = 1.4142

vilket är lika med roten ur 2 med 4 decimaler.

Det finns givetvis bättre och snabbare algoritmer.

Det är gymnasiematte fö fan!

Säg att vi vill få fram roten ur 144. Först gissar vi vad det kan vara, säg 10.


(144/10 + 10)/2 = 24,4/2 = 12,2. Vi ser nu att vi kommit lite närmare!

Vi upprepar: (144/12,2 + 12,2)/2 = 12,001639...

Vi ser nu att vi kommit ganska nära. Man kan upprepa ytterligare för att få ett nogrannare svar. Med denna metod kan man även räkna ut tredjeroten, fjärderoten osv.

Ex för tredjeroten: (Y/(X^2) + X)/2, där Y är talet man ska dra tredjeroten ur.

5-10min kanske? Jag vet inte riktigt. Sist jag kollade fanns jag på riktigt och det är som sagt gymnasiematematik det rör sig om. Om det kan vara någon tröst för dig så har jag lätt för sådant här men har stora svårigheter med allt som rör estetiska områden - jag har problem att rita ens streckgubbar och att klappa händerna i takt är svårt.

Det kanske bara är jag som är road av rubrikens "kvadrotkroten".