Vad händer med Pythagoras sats när sidorna är komplexa tal?

Finns det någon meningsfull geometrisk tolkning av Pythagoras sats där själva sidorna får vara komplexa tal?

Kan man få en triangel där sidorna verkligen är komplexa, snarare än att bara använda komplexa tal som koordinater?

Ett enkelt exempel är att tänka sig en rätvinklig triangel där de två kateterna är 1 och i.
Om vi tillämpar Pythagoras sats direkt får vi

c^2=1^2+i^2.

Eftersom i^2=-1 blir detta c^2=1-1=0, och alltså
c=0.

Det är ganska märkligt ur ett geometriskt perspektiv: vi har två icke-noll sidor, 1 och i, men deras diagonal blir noll.
Om 1 och i däremot tolkas som de två vinkelräta riktningarna i det komplexa planet, så motsvarar de båda vanliga längden 1. Då skulle den geometriska diagonalen i stället vara roten ur två.

Så frågan blir vad vi egentligen menar med en sida och en diagonal när sidornas värden får vara komplexa. Den algebraiska versionen ger 0, medan den vanliga geometriska tolkningen ger roten ur två. Vad är det egentligen som har gått förlorat eller förändrats när vi går från reella till komplexa längder?

Du kan inte konstruera en rätvinklig triangel där Pythagoras sats inte gäller, så jag tror hela din utgångspunkt är omöjlig.

Så hur tolkar du då en rätvinklig triangel med sidorna i och 1 vars diagonal enligt Pythagoras sats skulle vara lika med noll?

Längd sätts inte samman via komplexa tal.

Det du nämnde med 1 och i är punkter, och inte längd. Därför går det inte att använda Pythagoras sats på dem direkt. Men du kan använda formeln för avståndet mellan en punkt och origo i det komplexa talplanet får att få fram en längd, som ges av sqrt(x^2+y^2), där x = realdelen och y = imaginära delen. Då kan man substitutera den formeln för att kunna använda Pythagoras sats.

Då blir längden av hypotenusan (sqrt(1^2+0^2))^2 + (sqrt(0^2+1^2))^2 = c^2 => c^2 = 2 => c = sqrt(2).

Att det inte är en rätvinklig triangel.

I själva konceptet med metrik ligger att avstånd skall vara ickenegativa tal. Håller man sig inte till det så blir det rätt mycket som faller på ändan helt enkelt, frågan blir då om det ens blir meningsfullt att tala om rätvinklig och trianglar öht.

Även när det gäller vektorrum över komplexa tal så har man sett till att ordna det så att avstånd alltid blir positiva, det gör man genom att t.ex. blanda in komplexkonjugat när man definierar skalärprodukten (och därmed blir skalärprodukten med sig själv alltid ickenegativt reelt tal, och därmed avstånden också).

Det som har förändrats är att du bara får nonsens.

Svar JA, relativitetsteorin kan formuleras på det sättet vilket t ex användes av Einstein själv.

Exempel:
En raket färdas 3 ljusår på 5 år (båda relativt jorden). Hur lång tid upplever en astronaut i rymdskeppet?

Lösning:
Definiera tid som en imaginär sträcka. Vi har då alltså en triangel med de två kateterna x=3 resp y=5i. Det vi söker är hypotenusans längd:
s² = x² + y² = 3² + (5i)² = 9 - 25 = -16
dvs
s = 4i
dvs det går 4 år för astronauten!

Man KAN formulera det på ett annat sätt utan komplexa tal, men då ändrar man på själva Pythagoras sats:
s² = x² - y²
där x är sträckan mätt i ljusår och y är tiden mätt i år. I detta fall med bara en rumsdimension x, men om man har t ex 3 stycken, x1, x2, x3, så blir det
s² = x1² + x2² + x3² - y².

För skeptiker som kan iaf lite om tidsdilatation: dessa enkla sätt att räkna GER samma svar som om man räknar på rätt sätt med tidsdilatationsformeln: