Finns det någon meningsfull geometrisk tolkning av Pythagoras sats där själva sidorna får vara komplexa tal?
Kan man få en triangel där sidorna verkligen är komplexa, snarare än att bara använda komplexa tal som koordinater?
Ett enkelt exempel är att tänka sig en rätvinklig triangel där de två kateterna är 1 och i.
Om vi tillämpar Pythagoras sats direkt får vi
c^2=1^2+i^2.
Eftersom i^2=-1 blir detta c^2=1-1=0, och alltså
c=0.
Det är ganska märkligt ur ett geometriskt perspektiv: vi har två icke-noll sidor, 1 och i, men deras diagonal blir noll.
Om 1 och i däremot tolkas som de två vinkelräta riktningarna i det komplexa planet, så motsvarar de båda vanliga längden 1. Då skulle den geometriska diagonalen i stället vara roten ur två.
Så frågan blir vad vi egentligen menar med en sida och en diagonal när sidornas värden får vara komplexa. Den algebraiska versionen ger 0, medan den vanliga geometriska tolkningen ger roten ur två. Vad är det egentligen som har gått förlorat eller förändrats när vi går från reella till komplexa längder?
Det du nämnde med 1 och i är punkter, och inte längd. Därför går det inte att använda Pythagoras sats på dem direkt. Men du kan använda formeln för avståndet mellan en punkt och origo i det komplexa talplanet får att få fram en längd, som ges av sqrt(x^2+y^2), där x = realdelen och y = imaginära delen. Då kan man substitutera den formeln för att kunna använda Pythagoras sats.
Då blir längden av hypotenusan (sqrt(1^2+0^2))^2 + (sqrt(0^2+1^2))^2 = c^2 => c^2 = 2 => c = sqrt(2).
Finns det någon meningsfull geometrisk tolkning av Pythagoras sats där själva sidorna får vara komplexa tal?
Kan man få en triangel där sidorna verkligen är komplexa, snarare än att bara använda komplexa tal som koordinater?
Ett enkelt exempel är att tänka sig en rätvinklig triangel där de två kateterna är 1 och i.
Om vi tillämpar Pythagoras sats direkt får vi
c^2=1^2+i^2.
Eftersom i^2=-1 blir detta c^2=1-1=0, och alltså
c=0.
Det är ganska märkligt ur ett geometriskt perspektiv: vi har två icke-noll sidor, 1 och i, men deras diagonal blir noll.
Om 1 och i däremot tolkas som de två vinkelräta riktningarna i det komplexa planet, så motsvarar de båda vanliga längden 1. Då skulle den geometriska diagonalen i stället vara roten ur två.
Så frågan blir vad vi egentligen menar med en sida och en diagonal när sidornas värden får vara komplexa. Den algebraiska versionen ger 0, medan den vanliga geometriska tolkningen ger roten ur två. Vad är det egentligen som har gått förlorat eller förändrats när vi går från reella till komplexa längder?
I själva konceptet med metrik ligger att avstånd skall vara ickenegativa tal. Håller man sig inte till det så blir det rätt mycket som faller på ändan helt enkelt, frågan blir då om det ens blir meningsfullt att tala om rätvinklig och trianglar öht.
Även när det gäller vektorrum över komplexa tal så har man sett till att ordna det så att avstånd alltid blir positiva, det gör man genom att t.ex. blanda in komplexkonjugat när man definierar skalärprodukten (och därmed blir skalärprodukten med sig själv alltid ickenegativt reelt tal, och därmed avstånden också).
Finns det någon meningsfull geometrisk tolkning av Pythagoras sats där själva sidorna får vara komplexa tal?
Kan man få en triangel där sidorna verkligen är komplexa, snarare än att bara använda komplexa tal som koordinater?
Ett enkelt exempel är att tänka sig en rätvinklig triangel där de två kateterna är 1 och i.
Om vi tillämpar Pythagoras sats direkt får vi
c^2=1^2+i^2.
Eftersom i^2=-1 blir detta c^2=1-1=0, och alltså
c=0.
Det är ganska märkligt ur ett geometriskt perspektiv: vi har två icke-noll sidor, 1 och i, men deras diagonal blir noll.
Om 1 och i däremot tolkas som de två vinkelräta riktningarna i det komplexa planet, så motsvarar de båda vanliga längden 1. Då skulle den geometriska diagonalen i stället vara roten ur två.
Så frågan blir vad vi egentligen menar med en sida och en diagonal när sidornas värden får vara komplexa. Den algebraiska versionen ger 0, medan den vanliga geometriska tolkningen ger roten ur två. Vad är det egentligen som har gått förlorat eller förändrats när vi går från reella till komplexa längder?
Svar JA, relativitetsteorin kan formuleras på det sättet vilket t ex användes av Einstein själv.
Exempel:
En raket färdas 3 ljusår på 5 år (båda relativt jorden). Hur lång tid upplever en astronaut i rymdskeppet?
Lösning:
Definiera tid som en imaginär sträcka. Vi har då alltså en triangel med de två kateterna x=3 resp y=5i. Det vi söker är hypotenusans längd:
s² = x² + y² = 3² + (5i)² = 9 - 25 = -16
dvs
s = 4i
dvs det går 4 år för astronauten!
Man KAN formulera det på ett annat sätt utan komplexa tal, men då ändrar man på själva Pythagoras sats:
s² = x² - y²
där x är sträckan mätt i ljusår och y är tiden mätt i år. I detta fall med bara en rumsdimension x, men om man har t ex 3 stycken, x1, x2, x3, så blir det
s² = x1² + x2² + x3² - y².
För skeptiker som kan iaf lite om tidsdilatation: dessa enkla sätt att räkna GER samma svar som om man räknar på rätt sätt med tidsdilatationsformeln:
Skeppets hastighet i förhållande till ljushastigheten c ges av
v/c = x/y = 3/5 .
Enligt tidsdilatationsformeln ges jordens tid y av skeppets egentid s enligt formeln
y = s / √(1 - (v/c)²)
dvs
s = y √(1 - (v/c)²) = 5 √(1 - (3/5)²) = 4 år.
__________________
Senast redigerad av nerdnerd 2026-09-29 kl. 16:21.
Finns det någon meningsfull geometrisk tolkning av Pythagoras sats där själva sidorna får vara komplexa tal?
Kan man få en triangel där sidorna verkligen är komplexa, snarare än att bara använda komplexa tal som koordinater?
Ett enkelt exempel är att tänka sig en rätvinklig triangel där de två kateterna är 1 och i.
Om vi tillämpar Pythagoras sats direkt får vi
c^2=1^2+i^2.
Eftersom i^2=-1 blir detta c^2=1-1=0, och alltså
c=0.
Det är ganska märkligt ur ett geometriskt perspektiv: vi har två icke-noll sidor, 1 och i, men deras diagonal blir noll.
Om 1 och i däremot tolkas som de två vinkelräta riktningarna i det komplexa planet, så motsvarar de båda vanliga längden 1. Då skulle den geometriska diagonalen i stället vara roten ur två.
Så frågan blir vad vi egentligen menar med en sida och en diagonal när sidornas värden får vara komplexa. Den algebraiska versionen ger 0, medan den vanliga geometriska tolkningen ger roten ur två. Vad är det egentligen som har gått förlorat eller förändrats när vi går från reella till komplexa längder?
Har en liten utvidgning som jag tror att du gillar (om det inte är för mycket matte). Det handlar om imaginära vinklar.
TL;DR
* Vanliga rotationer med en reell vinkel φ, bevarar Pythagoras sats, s²=x²+y²
* Samma rotationsformel men med imaginärt y=it och imaginär vinkel φ=iξ, ger Lorentstransformationen i den speciella relativitetsteorin som bevarar s²=x²-t².
Pythagoras sats bevaras ju av rotationer. Dvs om du har en punkt (x,y) i ett "vanligt" koordinatsystem vars avstånd s till origo ges av
s² = x² + y²,
och man roterar punkten (x,y) runt origo till en annan punkt (x',y'), så kommer avståndet till denna nya punkt ges av
s'² = x'² + y'²
där s och s' är samma! Rätt självklart, men håll ut.
Rotationer beskrivs matematiskt av rotationsmatriser som innehåller trigonometriska funktioner som t ex cos(φ) och sin(φ) där φ är rotationsvinkeln:
x' = cos(φ) x - sin(φ) y
y' = sin(φ) x + cos(φ) y
Meningen är förstås att använda reella vinklar på reella koordinater, men rent matematiskt KAN vi använda komplexa tal för allihop om vi vill! Komplexa tal för sträckor är ju nu lite svårtolkade i allmänhet, men om x är reell och y är rent imaginär, så kan man som sagt tolka y som tid. Vad händer om man en SÅN vektor "roteras" med en rent imaginär vinkel?
Svar: Det nya x' är fortfarande reellt och det nya y' är fortfarande rent imaginärt! Och de ger fortfarande samma "sträcka" s enligt formeln
s² = x² + y² = x'² + y'²
även när imaginära y och y' har så stora belopp att s² blir negativ!
Låt oss byta notation lite, med samma x som förut, men med
y = it
φ = iξ
där t och ξ är reella. Formeln ovan för s blir då
s² = x² - t² = x'² - t'² .
Dvs roterar man "vektorn" (x,it) med en imaginär vinkel så är "avståndet" s²=x²-t² bevarad. Rotationsformlerna blir nu
x' = cos(iξ) x - sin(iξ) it
it' = sin(iξ) x + cos(iξ) it .
Men från komplex matematik har vi att
cos(iξ) = cosh(ξ)
sin(iξ) = i sinh(ξ)
där cosh och sinh är hyperboliska funktioner, varför rotationsformeln nu blir, efter en liten förenkling,
x' = cosh(ξ) x + sinh(ξ) t
t' = sinh(ξ) x + cosh(ξ) t
där alla storheter på högersidan är reella, och därför även vänstersidan. Definierar vi nu v enligt
v = tanh(ξ)
kan visa, efter lite meck, att detta är samma som
x' = (x + vt)/√(1 - v²)
t' = (t + vx)/√(1 - v²)
dvs den speciella relativitetsteorins Lorentztransformation, där v är hastighetsskillnaden (i enheter där ljushastigheten c=1, t ex 1ljusår/år) mellan koordinatsystemen och där ξ kallas för rapiditet. Föga överraskande är rapiditet lika additiv som vinklar, dvs om man gör två olika stora "rotationer" efter varandra så ges den totala rapiditeteten av summan av rapiditeterna.
