Visa att x^5-x-1=0

...har en Galoisgrupp som är symmetriska gruppen S₅, vilket är inte lösbar.

Hur börjar man här med att visa det?

Det går inte på något sätt hitta en exakt lösning?

Det som jag förstår är att det inte finns något svar typ sqrt(2) eller annat sätt utrycka svaret. Kan det finnas något tracedent tal som är rot till ekvationen eller även där stopp?

Det finns en trancendent rot, om det vore en viktig rot så hade den fått ett namn redan.

Så vad är den då? Självklart är det viktigt att namnge den men hur vet du att det inte finns en rot som kan uttryckas som sqrt eller liknande? Visa det gärna.

...har en Galoisgrupp som är symmetriska gruppen S₅, vilket är inte lösbar.

Hur börjar man här med att visa det?

Det går inte på något sätt hitta en exakt lösning?

Det som jag förstår är att det inte finns något svar typ sqrt(2) eller annat sätt utrycka svaret. Kan det finnas något tracedent tal som är rot till ekvationen eller även där stopp?

...har en Galoisgrupp som är symmetriska gruppen S₅, vilket är inte lösbar.

Hur börjar man här med att visa det?

Det går inte på något sätt hitta en exakt lösning?

Det som jag förstår är att det inte finns något svar typ sqrt(2) eller annat sätt utrycka svaret. Kan det finnas något tracedent tal som är rot till ekvationen eller även där stopp?

Jag ska visa att polynomet f(x) = x⁵ - x - 1 har Galoisgrupp S₅, som är icke-lösbar.

## Steg 1: Visa att f(x) är irreducibel över ℚ

Vi använder Eisenstein-kriteriet. Låt g(x) = f(x+1) = (x+1)⁵ - (x+1) - 1.

Expanderar vi får:
g(x) = x⁵ + 5x⁴ + 10x³ + 10x² + 5x + 1 - x - 1 - 1
= x⁵ + 5x⁴ + 10x³ + 10x² + 4x - 1

För primtalet p = 5:
- Koefficienten för x⁵ är 1 (ej delbar med 5)
- Koefficienterna 5, 10, 10, 4 för x⁴, x³, x², x är alla delbara med 5
- Konstanttermen -1 är ej delbar med 25

Eisenstein-kriteriet ger att g(x) är irreducibel över ℚ, vilket innebär att f(x) också är irreducibel.

## Steg 2: Analysera rötterna

Låt α vara en rot till f(x) = x⁵ - x - 1. Då är f'(x) = 5x⁴ - 1.

För att bestämma antalet reella rötter:
- f(0) = -1 < 0
- f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0
- f(2) = 32 - 2 - 1 = 29 > 0

Eftersom f är kontinuerlig och strängt växande för stora x, har f(x) exakt en reell rot i intervallet (1,2).

De övriga fyra rötterna är komplexa och förekommer i konjugerade par.

## Steg 3: Galoisgruppen

Galoisgruppen G = Gal(ℚ(α)/ℚ) är en undergrupp av S₅ eftersom f(x) har grad 5.

Eftersom f(x) är irreducibel över ℚ, verkar G transitivt på rötterna, så |G| är delbart med 5.

Komplexkonjugation τ ∈ G växlar de två paren av komplexa konjugerade rötter och fixerar den reella roten. Detta ger en permutation av typ (2)(2)(1) i S₅, vilket är en produkt av två disjunkta 2-cykler.

Enligt Sylow-satserna måste G innehålla element av ordning 5 (5-cykler) eftersom |G| är delbart med 5.

En undergrupp av S₅ som innehåller både en 5-cykel och en produkt av två disjunkta 2-cykler genererar hela S₅. Detta kan visas genom att dessa element tillsammans kan generera alla permutationer i S₅.

Därför är G = S₅.

## Steg 4: S₅ är icke-lösbar

Den symmetriska gruppen S₅ har ordning 120 = 2³ · 3 · 5.

Alternativa gruppen A₅ (jämna permutationer) är en normal undergrupp av S₅ med index 2.

A₅ är den minsta enkla icke-abelska gruppen och har inga icke-triviala normala undergrupper.

Därför har S₅ ingen lösningskedja av abelska faktorgrupper, vilket betyder att S₅ är icke-lösbar.

## Slutsats

Polynomet x⁵ - x - 1 = 0 har Galoisgrupp S₅, som är icke-lösbar. Detta innebär att ekvationen inte kan löses med radikaler - det finns ingen formel som uttrycker rötterna med hjälp av aritmetiska operationer och n:te rötter av rationella tal.