Tal utanför de komplexa talen?

Finns det matematiska uttryck vars värde inte kan representeras som ett komplext tal? Jag syftar på tal som inte kan skrivas på formen a + b*i, där a och b är reella tal och i det imaginära talet.

Kvaternionerna

Det beror på vad du menar med "finns". Du kan alltid hitta på någon egen notation som inte låter sig mappas till komplexa tal, men vad betyder det?

Du kan ställa upp ekvationer med positiva tal som kräver lösningar inom negativa tal. Som x + 3 = 1
Med heltal kan du ställa upp ekvationer som kräver lösningar inom rationella tal, som 3x = 1
Med rationella tal kan du ställa upp ekvationer som kräver lösningar inom reella tal som x^(1/2) = 2
Med reella tal kan du ställa upp ekvationer som kräver lösningar inom komplexa tal som x² = -1

Det centrala ovan är att du har en talmängd och ställer upp en ekvation med tal från den talmängden, men lösningen finns inte i den talmängd du utgick ifrån.

Men när du kommer till komplexa tal så tar det stopp. Du kan inte ställa upp en komplex ekvation som har lösningar utanför de komplexa talen.


Nja, se ovan. Kvaternionerna underlättar vissa beräkningar, men de lagar inga hål i matematiken som de andra talmängderna gör. Alla beräkningar man använder kvaternioner till går att göra utan kvaternioner.

Finns det något sådant uttryck? T.ex i^√i?

Det är ett komplext tal som är ca 0.14622 + 0.29508 i

Det är inget konstigt med i^√i.
Skriv in det i en bra räknare så får du svaret direkt.

De komplexa talen är ett "algebraically closed field"

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebr...y_closed_field

Finns det något intuitivt svar till varför det är så att man måste upp till komplexa tal men inte längre? Ibland är matematik sådan att man bara får acceptera att det är på ett visst sätt, men ibland finns också vackra förklaringar.

Du kan läsa igenom den här och se om det är tillräckligt intuitivt. Skulle tro att det inte är några större problem för någon som läst några år på högskola, men jag har ju ingen aning om vilken nivå du ligger på.

https://en.wikipedia.org/wiki/Fundam...rem_of_algebra

Tack för ett pedagogiskt och lärorikt inlägg!

Samma kan isf även sägas om komplexa tal, som kan mappas till reella 2x2 matriser (som du säkert känner till, men det kan ju vara värt ändå att nämna i sammanhanget).
https://www.nagwa.com/en/explainers/...0its%20modulus.

Men ok, just komplexa tal gav ju en ren revolution med nya insikter och metoder som t ex om analytisk fortsättning och residykalkyl för integraler (även reella!).

Och så ska vi inte heller glömma oktonioner med ännu fler "i" (7 st) än kvaternioner (3 st).

Den största revolutionen är förstås fatilarkalkyl.

Men finns det något uttryck annat än det uppenbara (t.ex 3i + 2j) som inte är ett komplext tal? Jag hittar på konstiga uttryck i Wolfram alpha som bygger på komplexa tal men får ändå ett komplext tal tillbaka.