Matematik är ett objektivt system. Exempelvis finns det en programmeringsalgoritm för att addera ihop två positiva heltal. Det är objektivt sant att 100 kommer efter 99 bland heltalen, till exempel.
Matematik är ett objektivt system. Exempelvis finns det en programmeringsalgoritm för att addera ihop två positiva heltal. Det är objektivt sant att 100 kommer efter 99 bland heltalen, till exempel.
Men detta då?
"In a short period of less than a year, two distinguished physicists, A. Slavnov and F. Yndurain, gave seminars in Barcelona, about different subjects. It was remarkable that, in both presentations, at some point the speaker addressed the audience with these words: 'As everybody knows, 1 + 1 + 1 + ⋯ = −1/2.' Implying maybe: If you do not know this, it is no use to continue listening."
Är det objektivt eller subjektivt?
Om det ges av Riemanns zeta-funktion, är det då "rätt"?
Jo men du kan inte lägga ihop tal oändligt med axiomen som gäller addition av reella tal.
Du får nämligen ett problem med axiomet att adderar du det neutrala elementet 0 till a får du tillbaka a.
Axiomen för addition av tal som är blandannat...
a+b=b+a
a+(b+c)=(a+b)+c
a+0=a
a=a+0=a+0+0....
Det kan du då skriva som a=a+(1-1)+(1-1)+.... i all oändlighet.
Då kommer du få typ att a=a+1 vilket är nonsens.
1+2+3+...+(n-1)+n är en aritmetisk summa om n går mot oändligheten så får du gränsvärdet genom medelvärdet av första termen och sista termen.
lim n->inf (1+n)/2 =inf inte -1/12.
__________________
Senast redigerad av BananShan 2023-01-06 kl. 16:54.
Jo men du kan inte lägga ihop tal oändligt med axiomen som gäller addition av reella tal.
Du får nämligen ett problem med axiomet att adderar du det neutrala elementet 0 till a får du tillbaka a.
Axiomen för addition av tal som är blandannat...
a+b=b+a
a+(b+c)=(a+b)+c
a+0=a
a=a+0=a+0+0....
Det kan du då skriva som a=a+(1-1)+(1-1)+.... i all oändlighet.
Då kommer du få typ att a=a+1 vilket är nonsens.
1+2+3+...+(n-1)+n är en aritmetisk summa om n går mot oändligheten så får du gränsvärdet genom medelvärdet av första termen och sista termen.
lim n->inf (1+n)/2 =inf inte -1/12.
a+b=b+a är inte ett axiom, det följer av Peanos axiom.
Jo men du kan inte lägga ihop tal oändligt med axiomen som gäller addition av reella tal.
Du får nämligen ett problem med axiomet att adderar du det neutrala elementet 0 till a får du tillbaka a.
Axiomen för addition av tal som är blandannat...
a+b=b+a
a+(b+c)=(a+b)+c
a+0=a
a=a+0=a+0+0....
Det kan du då skriva som a=a+(1-1)+(1-1)+.... i all oändlighet.
Då kommer du få typ att a=a+1 vilket är nonsens.
1+2+3+...+(n-1)+n är en aritmetisk summa om n går mot oändligheten så får du gränsvärdet genom medelvärdet av första termen och sista termen.
lim n->inf (1+n)/2 =inf inte -1/12.
Jag bara påpekar att om man använder analytisk fortsättning så ger Riemanns zeta-funktion det resultatet.
Stoppar du in -1 i Riemanns zeta-funktion så får du resultatet att 1+2+3+4... =-1/12
Är det ett objektivt eller subjektivt resultat?
Det där presenteras ofta så, men det tycker jag är en vulgärtolknlng. Riemanns zeta-funktion definieras som
1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + …. för de s där serien konvergerar, dvs om s>1 (eller om Re(s)>1 för komplexa tal). Men denna funktion kan fortsättas analytiskt enl väl definierade regler även till andra s där serien ovan inte konvergerar, t ex till s=-1, där dess värde då blir -1/12.
Om man nu ändå envisas med att stoppa in s=-1 i serien ovan får man
1 + 2 + 3 + 4 + …
men denna serie divergerar ju, och är därför INTE en godtagbar formel för zetafunktionen för s=-1.
Inom teoretisk fysik har det hänt att man har fått ovanstående divergenta summa för något man vill beräkna, och då summerat det till -1/12, men det tror jag ska ses på ett annat sätt: kvantfältteori formuleras ofta som störningsräkningar (med t ex Feynmandiagram), dvs just som serier. Att summan är divergent kan då möjligen bara stå för att det finns en bakomliggande ännu oupptäckt formulering som ger ändliga resultat, men att det bara är störningsutvecklingen som är utanför sitt konvergensområde.
Det finns även andra skäl för divergenser i kvantfältteori, men de talar jag inte om här.
Zetafunktionen har rätt mycket risig matematik, så låt mig ta ett annat exempel. Man kan visa (ingår i gymnasiematte) att
1/(1 - x) = 1 + x + x^2 + x^3 + …
OM beloppet på x är mindre än 1. För andra x divergerar serien. Men vänstersidan kan ju ändå beräknas för t ex x=-2 där den blir 1/3. Men för högersidan ger samma x
1 + 3 + 3^2 + 3^3 + …
vilket ju bara divergerar. Den har inte värdet 1/3.
—
Det ovanstående är nog snudd på OT. Min åsikt:
Nej, matematiken är inte subjektiv. Matematik kan representeras på en massa olika sätt, och det sätt man väljer är subjektivt, men det gör inte det som beskrivs mer subjektivt än att t ex ordet för berg är olika på olika språk. Berget finns där ändå, oavsett vad vi kallar det.
Inom matematikfilosofi bekänner jag mig till det platonistiska lägret.
Det där presenteras ofta så, men det tycker jag är en vulgärtolknlng. Riemanns zeta-funktion definieras som
1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + …. för de s där serien konvergerar, dvs om s>1 (eller om Re(s)>1 för komplexa tal). Men denna funktion kan fortsättas analytiskt enl väl definierade regler även till andra s där serien ovan inte konvergerar, t ex till s=-1, där dess värde då blir -1/12.
Om man nu ändå envisas med att stoppa in s=-1 i serien ovan får man
1 + 2 + 3 + 4 + …
men denna serie divergerar ju, och är därför INTE en godtagbar formel för zetafunktionen för s=-1.
Inom teoretisk fysik har det hänt att man har fått ovanstående divergenta summa för något man vill beräkna, och då summerat det till -1/12, men det tror jag ska ses på ett annat sätt: kvantfältteori formuleras ofta som störningsräkningar (med t ex Feynmandiagram), dvs just som serier. Att summan är divergent kan då möjligen bara stå för att det finns en bakomliggande ännu oupptäckt formulering som ger ändliga resultat, men att det bara är störningsutvecklingen som är utanför sitt konvergensområde.
Det finns även andra skäl för divergenser i kvantfältteori, men de talar jag inte om här.
Zetafunktionen har rätt mycket risig matematik, så låt mig ta ett annat exempel. Man kan visa (ingår i gymnasiematte) att
1/(1 - x) = 1 + x + x^2 + x^3 + …
OM beloppet på x är mindre än 1. För andra x divergerar serien. Men vänstersidan kan ju ändå beräknas för t ex x=-2 där den blir 1/3. Men för högersidan ger samma x
1 + 3 + 3^2 + 3^3 + …
vilket ju bara divergerar. Den har inte värdet 1/3.
—
Det ovanstående är nog snudd på OT. Min åsikt:
Nej, matematiken är inte subjektiv. Matematik kan representeras på en massa olika sätt, och det sätt man väljer är subjektivt, men det gör inte det som beskrivs mer subjektivt än att t ex ordet för berg är olika på olika språk. Berget finns där ändå, oavsett vad vi kallar det.
Inom matematikfilosofi bekänner jag mig till det platonistiska lägret.
Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!
