Citat:
Snälla du, det där är så galet att man blir matt. Gör så här:Det du gör här har ju ingenting med relativism eller Minkowskirummet att göra så det behövs ju inte några citattecken för varken "kateter" eller "hypotenusa", för detta är ju ett vanligt Euklidiskt 2D-rum.
Det som kräver citattecken är "metriken" och "längden".
Det är sannerligen inte bara minustecknet som skiljer M från E och det du har gjort är endast E, antingen med ett minustecken eller utan då du har 3an i kvadrat, så den blir positiv igen.
Det är inte din 4a som är hypotenusan utan din -3². Din 4a ska vara 0 för att definiera det invarianta rumtidsintervallet, med betoning på såväl "rumtids" och "intervall", alltså skillnad inte mätetal, såväl som proper tid.
x²+y²+z²=c²t²
Eller:
x²+y²+z²-c²t²=0
Det här är ju inte egentligen 4-dimensioner, utan 3. Notera att detta är standard Pythagoras a²+b²=c², men omflyttningen gett a²+b²-c²=0. Vad detta består av är alltså två delar varav den ena är t>0 och den andra är t<0. Att detta är i sin kvadratform är lika viktigt som att det finns ett minustecken med, vilket är lika viktigt som att det finns en konstant med, vilken definierar en funktion som gör den invariant.
ds²=c²dT²-dx_T²-dy_T²-dz_T²=c²dT
Notera att c²dT² minus allt annat också blir c²dT².
Detta då allt annat är skillnaden mellan positioner, vilket är hastighet, där alla koordinater längs c är 0, och eftersom förändringen avgörs med proper tid, alltså klockan som följer med, vilken då inte förändrar sin position längs x,y,z då den är i origo i sitt egna koordinatsystem, så den skillnaden är 0.
ds=cdT
Eller:
dT=ds/c
Vilket är detsamma som:
dT=√1-(v²/c²)dt
Där:
v=√((dx/dt)²+(dy/dt)²+(dz/dt)²),
vilken ges i enheten "av ljusets hastighet", som egentligen är hastigheten för kausalitet.
Så:
√(x²+y²+z²)=s=ct
Där:
x²=c²t²,
och vid c så är x=t eller omvänt t=x, så allt längs c har rumtidsintervallet 0.
r•r=c²t²=x²+y²+z²
Där då:
x²+y²+z²-c²t²=0
Eller alltså:
x²+y²+z²-r•r=0
Meningen med "rumtidsintervall med tids-/rumslik separation mellan händelser" är egentligen meningslösa. Det är bara när ds²=0 som det säger någonting om förhållanden mellan skillnaden mellan positioner i tid och rum. Allt annat bara viktar ds² från att vara större eller mindre än 0 med skillnaden som ger 0.
En fyrposition definieras av:
(ct, (x,y,z))
där också:
x=ct
Eftersom ens egna koordinatsystems t-axel också är x=0 så definieras relativ rörelse längs t-axeln med:
x=vt,
vilket alltså ger händelser längs t axeln rakt upp, som är x=0.
Så vid en hastighet så är:
x'=x-vt,
när:
t'=t,
alltså när man viktar dem så att:
(t'+t)-(t+t')=0,
vilket inte behöver göras så utan kan handviftas bara betyda:
t'-t=0, eller: t-t'=0.
Att:
x'=x-vt
är alltså detsamma som:
x'=ct-vt
vilket är detsamma som:
(c-v)t.
Så Lorentztransformationer i t och x, som är, för tidsdilatation:
ct=γct',
och för längdkontraktion:
L=(1/γ)L',
där:
γ=1/√(1-(v²-c²)),
vilket är detsamma som:
γ=dt/dT,
där som sagt ovan:
dT=ds/c,
där:
ds=cdT,
så:
cdT/c=dT.
Så när s²=0, så är:
s²=s²'=-c²(t_2'-t_1')²,
då:
t=ct,
så skiljer sig två händelser med relativ hastighet med:
A=(0,ct_1'),
och:
B=(0,ct_2'),
vilket är detsamma som:
A=x_1'
och:
B=x_2',
eftersom proper tid längs axeln som definierar den relativa hastigheten, definierar:
T=c(t_2'-t_1').
Så när v=c så:
s²=s²'
då:
-c²(t_2'-t_1')=0.
När v inte är c så är:
dT=√(1-(v²/c²))dt.
Detta då:
ds²= -c²dT²,
vilket är detsamma som:
-c²dt²+dx²+dy²+dz²,
så:
d(-c²(t_2'-t_1')²)=-c²(√(1-(v²/c²)dt)².
Detta kommer då från:
-c²dt²+dx²+dy²+dz²=0,
där skillnaden mellan positioner, som är hastighet, då är:
v=√((dx/dt)²+(dy/dt)²+(dz/dt)²).
Notera att:
v=√r²,
beror på t, där t=ct,
så en fyrvektor som definieras med:
(ct, r),
alltså definierar förhållandet mellan ens t vid x=0, från c där t=x, genom att:
c²dt²-dx²-dy²-dz²,
eller:
c²dt²-r²,
alltså:
c²dt²-r•r.
där:
√r²•r²=v
ger att:
√r²•r²= -√(c²dt²)
eller att:
√(c²dt²)-√r²•r²=0,
eller:
√(c²dt²)-√v²=0.
Då v=√((dx/dt)²...), så:
cdt-v=0,
och eftersom v beror på t och x, som bägge definieras av ct, så:
cdt-(dct/dct)=0,
eller:
cdt=(dct/dct),
vilket när c=1, är vad som ger:
1/√1-(v²/c²),
eller då:
dt/dT,
alltså:
γ,
så:
ct=γct'.
Då:
ds²=c²dT²=(cdT)²=(cdt)²-dr•dr,
så:
(cdT/cdt)²=1-(dr/cdt•dr/cdt)=1-((v•v)/c²),
där:
v=dr/dt,
så:
dt=γ(v)dT,
vilket definierar:
d/dT,
där dT alltså är:
dT=ds/c,
och ds är:
ds=cdT.
Siffror och grejer...
Det som kräver citattecken är "metriken" och "längden".
Det är sannerligen inte bara minustecknet som skiljer M från E och det du har gjort är endast E, antingen med ett minustecken eller utan då du har 3an i kvadrat, så den blir positiv igen.
Det är inte din 4a som är hypotenusan utan din -3². Din 4a ska vara 0 för att definiera det invarianta rumtidsintervallet, med betoning på såväl "rumtids" och "intervall", alltså skillnad inte mätetal, såväl som proper tid.
x²+y²+z²=c²t²
Eller:
x²+y²+z²-c²t²=0
Det här är ju inte egentligen 4-dimensioner, utan 3. Notera att detta är standard Pythagoras a²+b²=c², men omflyttningen gett a²+b²-c²=0. Vad detta består av är alltså två delar varav den ena är t>0 och den andra är t<0. Att detta är i sin kvadratform är lika viktigt som att det finns ett minustecken med, vilket är lika viktigt som att det finns en konstant med, vilken definierar en funktion som gör den invariant.
ds²=c²dT²-dx_T²-dy_T²-dz_T²=c²dT
Notera att c²dT² minus allt annat också blir c²dT².
Detta då allt annat är skillnaden mellan positioner, vilket är hastighet, där alla koordinater längs c är 0, och eftersom förändringen avgörs med proper tid, alltså klockan som följer med, vilken då inte förändrar sin position längs x,y,z då den är i origo i sitt egna koordinatsystem, så den skillnaden är 0.
ds=cdT
Eller:
dT=ds/c
Vilket är detsamma som:
dT=√1-(v²/c²)dt
Där:
v=√((dx/dt)²+(dy/dt)²+(dz/dt)²),
vilken ges i enheten "av ljusets hastighet", som egentligen är hastigheten för kausalitet.
Så:
√(x²+y²+z²)=s=ct
Där:
x²=c²t²,
och vid c så är x=t eller omvänt t=x, så allt längs c har rumtidsintervallet 0.
r•r=c²t²=x²+y²+z²
Där då:
x²+y²+z²-c²t²=0
Eller alltså:
x²+y²+z²-r•r=0
Meningen med "rumtidsintervall med tids-/rumslik separation mellan händelser" är egentligen meningslösa. Det är bara när ds²=0 som det säger någonting om förhållanden mellan skillnaden mellan positioner i tid och rum. Allt annat bara viktar ds² från att vara större eller mindre än 0 med skillnaden som ger 0.
En fyrposition definieras av:
(ct, (x,y,z))
där också:
x=ct
Eftersom ens egna koordinatsystems t-axel också är x=0 så definieras relativ rörelse längs t-axeln med:
x=vt,
vilket alltså ger händelser längs t axeln rakt upp, som är x=0.
Så vid en hastighet så är:
x'=x-vt,
när:
t'=t,
alltså när man viktar dem så att:
(t'+t)-(t+t')=0,
vilket inte behöver göras så utan kan handviftas bara betyda:
t'-t=0, eller: t-t'=0.
Att:
x'=x-vt
är alltså detsamma som:
x'=ct-vt
vilket är detsamma som:
(c-v)t.
Så Lorentztransformationer i t och x, som är, för tidsdilatation:
ct=γct',
och för längdkontraktion:
L=(1/γ)L',
där:
γ=1/√(1-(v²-c²)),
vilket är detsamma som:
γ=dt/dT,
där som sagt ovan:
dT=ds/c,
där:
ds=cdT,
så:
cdT/c=dT.
Så när s²=0, så är:
s²=s²'=-c²(t_2'-t_1')²,
då:
t=ct,
så skiljer sig två händelser med relativ hastighet med:
A=(0,ct_1'),
och:
B=(0,ct_2'),
vilket är detsamma som:
A=x_1'
och:
B=x_2',
eftersom proper tid längs axeln som definierar den relativa hastigheten, definierar:
T=c(t_2'-t_1').
Så när v=c så:
s²=s²'
då:
-c²(t_2'-t_1')=0.
När v inte är c så är:
dT=√(1-(v²/c²))dt.
Detta då:
ds²= -c²dT²,
vilket är detsamma som:
-c²dt²+dx²+dy²+dz²,
så:
d(-c²(t_2'-t_1')²)=-c²(√(1-(v²/c²)dt)².
Detta kommer då från:
-c²dt²+dx²+dy²+dz²=0,
där skillnaden mellan positioner, som är hastighet, då är:
v=√((dx/dt)²+(dy/dt)²+(dz/dt)²).
Notera att:
v=√r²,
beror på t, där t=ct,
så en fyrvektor som definieras med:
(ct, r),
alltså definierar förhållandet mellan ens t vid x=0, från c där t=x, genom att:
c²dt²-dx²-dy²-dz²,
eller:
c²dt²-r²,
alltså:
c²dt²-r•r.
där:
√r²•r²=v
ger att:
√r²•r²= -√(c²dt²)
eller att:
√(c²dt²)-√r²•r²=0,
eller:
√(c²dt²)-√v²=0.
Då v=√((dx/dt)²...), så:
cdt-v=0,
och eftersom v beror på t och x, som bägge definieras av ct, så:
cdt-(dct/dct)=0,
eller:
cdt=(dct/dct),
vilket när c=1, är vad som ger:
1/√1-(v²/c²),
eller då:
dt/dT,
alltså:
γ,
så:
ct=γct'.
Då:
ds²=c²dT²=(cdT)²=(cdt)²-dr•dr,
så:
(cdT/cdt)²=1-(dr/cdt•dr/cdt)=1-((v•v)/c²),
där:
v=dr/dt,
så:
dt=γ(v)dT,
vilket definierar:
d/dT,
där dT alltså är:
dT=ds/c,
och ds är:
ds=cdT.
Siffror och grejer...
Anmäl dig till denna online kurs, nästa gång den går. (Eller annan liknande kurs, kanske redan i höst.)
INLEDANDE RELATIVITETSTEORI 6 HÖGSKOLEPOÄNG
https://www.sommarfysik.se/om/
Plugga. Hårt. Se till att klara tentan, och alla inlämningsuppgifter.
Sen. Sen. SEN kan jag snacka vidare med dig, om formler och begrepp osv.
