Trianglar i Minkowskirummet (relativitetsteori)

En refresher för ev intresserade som glömt sin gymnasiemstte, som den nämnda TTT-triangeln kan jämföras med på vissa sätt.

Antag att en "vanlig" euklidisk triangel har kantlängderna 5, 7, och 10 längdenheter. Beräkna triangelns vinklar!

Lösning:

------

För det nämnda tvillingparadoxproblemet, med egentiderna 5 och 7 för 20 år, har vi också en triangel, fast nu i Minkowskirummet istället för euklidisk geometri. Kan liknande metoder som ovan användas för att beräkna boostparamerna i resp hörn, och därmed även de relativa hastigheterna? Svaret är ja. Om det ev finns någon som är intresserad på riktigt, får denne ett till försök!

Jag började lite lätt med ett försök tidigare idag men är rätt rostig och fastnade på härledningen av de hyperboliska versionerna av sinus- och cosinussatserna. Slutför det dock gärna senare!

Intressant skall kika på det imorgon!

Lösningsförsök:

"Cosh-satsen" i fallet en dimension:

(a) Relativa hastigheten

(b) Max avstånd

Tack!
Cosh-satsen med bevis + den första rapiditeten + hastigheten är så gott som identiskt med mitt eget förslag.

Den andra rapiditeten + hastighet kan man dock få fram enklare med sinh-satsen, som man väl då också bör motivera.

Och så kan ju fundera på om det finns något användbart för detta problem som påminner om vinkelsumma för euklidiska trianglar. Eller kanske snarare om yttervinkelsatsen?

Gör ett försök att svara på andemeningen.

Du skriver senare att det är egen tid, så jag droppar det där med att det är två olika koordinatsystem och låtsas som om en av dem är koordinattid, vilket fyller funktionen jag tror du önskar uppnå, men det är omöjligt att lösa det här problemet om du kallar längden på triangelns sidor för tid, då det ju är rumtid.
Lorentztransformationer är inte tidsdilatation eller längdkontraktion, utan båda, och bägge kräver att två koordinater förhåller sig till en, där man för att göra en jämförelse mellan två koordinatsystem är överens om en punkt, så koordinatsystemen bidrar med varsin egna, vilka då bildar en triangel från vilken man kan förhålla koordinatsystemen till varandra.
Så för att mäta tidsdilatation så måste man ha sina egna två punkter längs avstånd, vilket definierar sitt plan för samtidighet, och det koordinatsystemet man förhåller sig till definierar sina två punkter varav den ena är densamma som en av ens egna, och den andra definierar vinkeln för hastighet.
De båda individuella punkterna är inte nödvändigtvis på samma rumtidsavstånd, så triangeln definieras vara likbent, som om man var i vila med respekt till varandra.
För att mäta längdkontraktion så måste man också ha två egna punkter som definierar sitt plan för samtidighet, och två punkter hos det man mäter, varav den ena förhålls till en av ens egna koordinatsystems och den andra sätts vinkelrätt upp från planet för samtidighet, för att man ska kunna förhålla vinkeln till hastigheten, med skillnaden mellan hastigheten och planet för samtidighet, vilken definierar ens c som hastigheten man mäter förhålls till.

Det går inte att avgöra x' vid vändningen eller då heller hastigheten endast från förhållandet mellan de totala tiderna. Det är ju en funktion och inte en metrik, så den resande tvillingen kan finnas på olika ställen längs en kurva då dennes plan för samtidighet också kommer vridas med respekt till den kvarstannande tvillingens.
Koordinatsystemets plan för samtidighet avgör var i rumtiden man mäter den bortresande tvillingen. Eftersom resan bort och kvarstannandet förhåller sig till en och samma punkt så kan inte koordinatsystemets plan för samtidighet avgöra förhållandet mellan rätvinklighet gentemot sin x-axel och v/c.

Om man fuskar lite, så som brukligt, och antar sig "veta" rätvinklighet gentemot sitt plan för samtidighet så får man ett intervall.
cosh(φ)=(icΔt)/(icΔt')=(Δx')/(Δx)

Kom ihåg att det både är t och x som Lorentztransformeras och att det är kvadratformen som är invariant.
s²=(ct)²-x²
ct=s(coshφ)
x=s(coshφ)
(coshφ)²-(sinhφ)²=1

Då tanh(φ)=v/c, och det är rätvinklighet till planet för samtidighet som gör det möjligt att definiera cosh(φ), där cosh(φ)=γ=1/√(1-(v²/c²), så kan man inte definiera x genom vt endast med t, eller ens med t/t' då det också är cosh(φ).
Eftersom Lorentzfaktorn definierar det relativa förhållandet mellan rätvinklighet, och Lorentztransformationen består av två operationer som ger förhållandet mellan koordinatsystem med v/c så krävs det att t och x är definierat hos koordinatsystemet, för att ha planet för samtidighet.
I detta fallet så har den kvarstannande tvillingen inget plan för samtidighet då x=0, och det bara är t som förändras.
Man kan luras lite av Minkowskidiagrammet av att t-axeln och x-axeln är rätvinkliga mot varandra, men t och x definierar sitt förhållande med en hastighet och en tid. Så även om det känns intuitivt att man har sitt x-plan som är radien ut från sig själv och man står still, så x vore 0 och man bara mäter tiden med en klocka, så har man ändå inte x-axeln.
Kom ihåg att x-axeln definieras genom Einsteinsynkronisering som ger planet för samtidighet, så x-planet definierar inte bara avstånd ut längst radien i meter, utan var i rumtiden som en händelse sker. Om det sker en händelse "nu", en meter bort, så är det "nu" som planet för samtidighet definierar. "Nu och där" mer exakt.

Skalärprodukten mellan två fyrvektorer är:
(coshφ)²-(sinhφ)²
Rapiditeten är:
artanh(v/c)

cosh(φ)=γ
sinh(φ)=γ(v/c)
tanh(φ)=v/c

Så att din den där "blir" v, följer från definitionen av v som definierar den. Den "ges" inte av det där förhållandet utan det där förhållandet är vad som definierar vinklarna.
Vad som "ger" den relativa hastigheten är alltså vilken som helst av de där, men mer direkt tanh(φ), vilken endast är tangent då man har definierat rätvinklighet genom att ha definierat planet för samtidighet, genom att ha definierat händelser i rumtiden.
När man har bestämt sitt plan för samtidighet genom att säga att vid en radie ut från sig själv så skedde en händelse vid en tidpunkt som man själv definierar som "nu", så har man sin tid och sin sträcka.
Det är fortfarande ett tidtagarur och en linjal som "ger" v, från t och x, vilket alla koordinatsystem själva definierar. Man har som sagt var ingen metrik utan alla skapar sina egna och förhåller annat till detta, varför alla endast är överens om Δs² och inte t och x.
Notera att förhållandet mellan t och t' samt x och x' inte är invariant, utan det som är invariant är både t och x i förhållande till t' och x'.
Så även om man själv härleder ett annat koordinatsystems proper tid och avstånd och förhåller det till sitt eget så kommer inte andra koordinatsystem att hålla med om ens egna koordinatsystems förhållande mellan sina egna t och x, eller förhållandet man har till t' och x'.
Man har ingen funktion utan sina individuella mätetal man måste definiera, och när man har mätetal är det förhållanden mellan kombinationer man har, där mätetalen man tillverkade låter en använda ett koordinatsystem som kan definiera sin egna observerade kausalitet i omvärlden.

Som sagt så är ju detta ett hastighets-projektionsrum, så c är ju en hastighet, så den går ju inte egentligen att sätta till 1. En hastighet är ju sträcka/tid, så ct=(sträcka/tid)t=sträcka.
När planet för samtidighet definierar x-axeln genom händelser vid ett avstånd som definierar "nu" och t-axeln, så är det vt som definierar avståndet längs x, som man definierar "nu" från efter ct, så definierar man också den 45-gradiga vinkeln ens koordinatsystems "c" har, där x=t.
Så när man mäter någonting annat så krävs det att man förhåller två mätpunkter till en, vilket kräver att man kan definiera två punkter, vilket kräver att man kan synkronisera två punkter, vilket man inte kan annat än med en linjal och ett tidtagarur, så man kan bara härleda x' och t' eftersom man har använt linjal för att ens från början ha sina egna x och t, vilka man inte har då man inte kan definiera vad som sker samtidigt vid olika platser, varför SR definierar det genom Einsteinsynkronisering, som om det fanns en observatör i mitten mellan två objekt som är konstanta i rum och tid.
I verkligheten så får man ta sitt måttband och mäta upp sin sträcka, knalla tillbaka, kolla när någonting händer där borta för att vid det tillfället starta sin klocka och kalla det "nu".
Det är så man definierar sin egna observerade kausala ordning.
Även om ens egna kausala ordning kan skilja sig från andras, enligt ens egna koordinatsystem med sina mätetal man tillverkat, så kommer alla att vara överens om händelsers kausala ordnings rumtidsintervall.

Tvillingparadoxen blir i denna kontext också en reell paradox då man inte kan avgöra vem av dem som har rest, men man kan inte heller avgöra rapiditeten då man inte kan avgöra hastigheten då man inte kan avgöra x bara för att man har t, då det är rumtid.

Eftersom Λ och β definierar samma sak, vilket är definierat av x och t, vilka krävs för att definiera x' och t', vilka definierar a eller b, och a eller b behöver två egna mätetal hos sig själv för att definiera planet för samtidighet som genom rätvinklighet definierar de hyperboliska funktionerna genom förhållandet till den andre, vilket kräver två händelser hos denne, med sina egna mätetal, där en av händelserna då förhålls till en händelse som definierade sitt egna plan för samtidighet, för att den andra händelsen hos den andre ska definiera en vinkel till en händelse som är rätvinklig till något mätetal längs sitt plan för samtidighet, där vinkeln däremellan, är vad som definierar hastigheten, vilken definierar Λ och β, så är det där ingen lösning utan ett cirkelargument.

Alla hyperboliska funktioner, rapiditeten, Lorentzfaktorn, "hastigheten" och allt detta är samma sak. x=vt, där vt definieras med en linjal och en klocka samt en promenad fram och tillbaka.
Vad som bevisas är att någonting definieras vara sig självt.

Det existerar ingen individuell cosh eller sinh-funktion för detta, utan bägge krävs och de definierar varandra då de är varandras inverterade hyperboliska funktioner.
I en triangel i Minkowskidiagrammet, med hyperbolisk geometri så kommer man själv, i sitt eget koordinatsystem, att det andra koordinatsystemet har ett koordinatsystem, enligt sig själv i sitt koordinatsystem, där den andre kan ha ett annat koordinatsystem enligt denne själv, men där man själv tillskriver den andre sitt koordinatsystem som man säger att denne förhåller sig till sig själv med, som är definierat genom sitt egna koordinatsystem, där så kommer händelser som definierar antingen tidsdilatation eller längdkontraktion att definiera rätvinklighet som förhåller planet för samtidighet till antingen x-axeln eller t-axeln, och när man själv i sitt eget koordinatsystem säger att någon händelse är rätvinklig till sin x, t.ex., då samtidigt så tillskriver man den andre att ha ett koordinatsystem(som denne inte nödvändigtvis behöver ha enligt sig själv), där dennes t är rätvinklig till sin egen x, men den andres tillskrivna koordinatsystem kommer då samtidigt att ha rätvinklighet mellan motsatta axlar.
Så om man själv förhåller t' till t, vilket sker till x, och längdkontraktion förhåller x' till x genom två händelser i tid som förhålls till en punkt, där allt egentligen är både x och t då det är händelser i rumtid, men man antar eller definierar den av dem man inte "mäter"/tillskriver ett mätetal i en koordinatenhet, då kommer den andres av sig själv tillskrivna koordinatsystem att ha samma förhållande mellan motsatta vinklar.

Det är inte "yttervinklar". Det är imaginära vinklar.


Först, respekt, därefter ska jag berätta en hemlighet...

cosh(φ)=cos i(φ)
i sinh(φ)=sin i(φ)
Du vet Eulers formel?
cosh i(φ)=(1/2)(e^1φ+e^-iφ)=cos(φ)
cos i(φ)=cosh(-φ)=cosh(φ)
Där:
e^iφ=cos(φ)+i sin(φ)
Detta är enhets-hyperbolan(namn?), medans exponenten med pi definierar enhetscirkeln.
Notera att skillnaden mellan vanlig Lorentztransformation och inverterad Lorentztransformation är att den ena förhåller sig till en enhetshyperbola och den andra till en enhetscirkel, och bägge definierar samma förhållande.

Lorentztransformationer med hyperboliska eller inverterade hyperboliska trigonometriska funktioner definierar detsamma som Lorentztransformationer med vanliga siffror.
x=cosh(φ)x'+sinh(φ)ct'
ct=sinh(φ)x'+cosh(φ)ct'

Det här är inte mer fundamentalt än x²-y², vilket också är en hyperbolisk funktion.
Ska man vikta den mot någon skalfaktor(Lorentz) så är det bara att dividera dem med någonting så kommer hyperbolan att förhålla nämnarna till varandra, likt: (x²/a)-(y²/b). Man kan lika gärna få ett inverterat förhållande genom att invertera täljaren, med t.ex. produkten tillsammans med en imaginär enhet, så en hyperboliskt "rotation" sker i det komplexa planet, med (x²/a)-(iy²/b).
Vill man så kan man multiplicera ett jättestort tal med en täljare, så hyperbolans vinkel blir jätte-spetsig, säg oändligt spetsig, så kan man definiera oändligt med punkter från 45 grader i koordinatsystemet, längs med spetsen hos hyperbolan, längs med denna när den närmar sig oändligt spetsig, så kan man definiera vilken punkt man vill längs x eller y-planet med det jättestora talet, så en rät, 90-gradersvinkel ut från den 45-gradiga vinkeln mellan y och x-planet, kommer att skära genom hyperbolan vid en punkt som beror på hur stort vårat jättestora tal är, likt: (x²/a)-((iy²z)/b).
Då spelar det heller inte längre någon roll vad det "riktiga" förhållandet är mellan a och b, för oavsett hur det förhåller sig så kan den ena halvan av hyperboliden använda koordinater som denne själv tycker definierar den andra halvan av hyperboliden.
Det enda tråkiga med detta är att man inte kan särskilja hyperbolens utsträckning i det reella planet från dess utsträckning i det imaginära, så andra kommer bara att hålla med om det reella och imaginära intervallet tillsammans, för att förhålla detta till sig med någon egen uppdelning.

Siffror och grejer...

Gjorde ett försök att lösa sinuslagen, gick bet. Den finns dock här:

https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_triangle

Och en härledning finns här:

https://www.whitman.edu/Documents/Ac...s/valaasla.pdf

Om det fanns ngn mer som körde fast på den biten och vill ha facit.

Vill poängtera att i SR med Mikowskidiagrammet så är det ju en enhetshyperbola, så det är bara en sida som är en hyperbolisk båge. Enheten längs x består av vt, men då y-axeln som vi kallar "t" definieras av ct och produkten med en imaginär enhet, för att få en enhetshyperbola istället gör en enhetscirkel, så y-axeln är -ct, så därför är en enhet längs x-axeln som består av vt istället vt-ct. Då hastighet som i "v" eller "c" består av sträcka/tid så är vt och ct (sträcka/tid)tid=sträcka. Så vt-ct är sträcka-sträcka. Då den hyperboliska funktionen x^2-y^2=1 inte roterar ett varv efter 2pi likt enhetscirkeln så har enhetshyperbolan inte samma relation mellan vinkeln och arean, då x=y vid 45 grader, vilket då definierar c. Så "c" definieras inte av ljusets hastighet, utan planet för samtidighet definierar c, som är hastigheten för kausalitet.
Så när man definierar en händelse längs x-axeln till att ske samtidigt som en händelse vid origo, så definierar man att x1=vt-t=v.
Så x0=v-v, där v ju då är sträcka/tid, och y-axeln som kallas "t", definieras med produkten av en imaginär enhet och en konstant skalär som definieras av gränsen vid oändlighet då x=t, så x-t=1, eller då x-t=c. Så en Lorentztransformation är då både (x-vt)gamma och (t-(vx/c^2)gamma. Kvadratformen av c där fyller funktionen av att ge rätt dimensioner hos resultatet, så det är ingen djupare mening med att den är i kvadrat.
Då x=vt och t=-ct, där c=x-t, så blir transformationerna ((v-ct)-(v-ct))gamma och (-ct-(v^2t/(vt-ct)^2))gamma. Den förstnämnda ger skillnaden mellan koordinatsystemens längder längs x-axeln, då (v-ct)=(sträcka/tid)-ct=(sträcka-ct)/tid=sträcka-c, och då c=x-t så är (sträcka-c)=(sträcka(-x-t))=(sträcka(-vt-t))=sträcka-v.
Eftersom v=sträcka/tid så är sträcka-v=sträcka(-sträcka/tid), och då sträcka längs x definieras med vt så är sträcka(-vt/t)=sträcka-v. Då v-sträcka/tid så blir det sträcka(-sträcka/tid), vilket blir vt(-vt/t), vilket blir vt-v, vilket blir t. Så Lorentztransformationen längs x-axeln ger t som viktas med gamma.
Lorentztransformationen för t är (t-(vx/(x-t)^2)gamma, som är detsamma som (t-(v^2vt/(vt-t)^2, som blir t-vt, som blir -v.
Så funktionen som den totala transformationen ger är t-v. Då v=sträcka/tid så blir det tid(-sträcka/tid), som blir -sträcka.
Så den relativa hastigheten mellan koordinatsystem förhåller sig till varandra med (-sträcka)gamma. Då gamma=1/rotenur(1-(v^2/c^2), som är 1/rotenur(1-(v^2/(x-t)^2, som är 1/rotenur(1-(v^2/(vt-t)^2, som blir 1/rotenur(1-(t-t)^2, som blir 1/(1-(t-t), som blir -t-t.
Eftersom transformationen av x-axeln ger t, och transformationen av t-axeln blir -t-t, där t-axeln definieras med -ct, som är (-x-t)t, som är (-vt-t)t, som är -vt, och transformationen av x-axeln är t, så transformeras funktionen av x och t, som är -vt-t, men i sin kvadratform, med viktningsfaktorn -t-t, så ((-vt)^2/(-t-t)^2)-((-t)^2/(-t-t)^2), blir (vt-t)-(-t), som blir vt-t+t, som blir vt.
Då x=vt och t=-(x-t)t=-(vt-t)t=-vt, så blir t=-vt och x=vt, och x-t=c, så är vt-vt=c, vilket definierar origos x0-t0, alltså här och nu.
Eftersom alla händelser observeras med ett förhållande mellan t=-vt och x=vt, och vt=(sträcka/tid)tid=sträcka, så observeras alla händelser med ett förhållande mellan en sträcka längs x-axeln och en sträcka längs t-axeln.
Då sträcka_x-sträcka_t=c, men hastighet med tid och sträcka är relativa, så är det (sträcka_x sträcka_t')-(sträcka_t sträcka_x')=c^2 som två observatörer är överens om. Bägge kan definiera det som sträcka_x^2-sträcka_t^2=c^2 från sitt koordinatsystem, trots att det sinsemellan sker en rotation i det imaginära planet mellan x och t' samt t och x'.
Subtraherar man c^2 från bägge sidor för att få x^2-ct^2=0, där bägge koordinatsystem är överens om att c=x-t i sitt egna koordinatsystem så definierar bägge sina koordinatsystem efter x^2-((x-t)t)^2=0, så (vt)^2-((vt-t)t)^2=0, så (vt)^2-(vt)^2=0, så ((sträcka/tid)tid)^2-((sträcka/tid)/tid)^2=0, så sträcka^2-sträcka^2=0.
Så att så länge bägge koordinatsystem definierar sin egna c med sin egna x=vt och sin egna t=-ct, genom x-t, och bägge låter sina egna hyperboliska funktioner x^2-t^2=1, definiera sin c, vilken flyttas om till x^2-ct^2=0, så deras plan för samtidighet definierar kausal ordning från deras perspektiv, så kan bägge koordinatsystem vara överens om varandras kausala ordning genom att definiera sin egen med samma förhållande som den andre också gör med deras relativa hastighet, men med omvänt förhållande mellan x och t, så x förhåller sig till t' och t förhåller sig till x', så kan bägge vara överens om den andres förhållande mellan sin x'-t', även om de inte är överens om koordinatenheterna, då bägge definierar sin observerade kausala ordning hos den andre med v som tillskrivs betydelsen av x/t, vilken förhålls till deras egna c, där en händelse sker vid x' efter vt och vid t' efter -ct, som är -(x-t)t, som är -(vt-t)t, som är -vt, så v är x/t då x/t=(vt)/(-vt), där vt är en sträcka längs deras egna koordinatsystems x- och t-axel.
Så bägge definierar sin egna c genom att definiera sitt egna origo från en händelse vid en sträcka bort från en sträcka tid sedan, där bägge koordinatsystem är eniga om c^2, trots att de inte behöver vara eniga om c, då de själva definierat c med sträcka och tid, som ger samtidighet och kausal ordning, där de kan tillskriva det andra koordinatsystemet till att ha samma c som sig själv, som om x förhöll sig till x' och t till t', när de egentligen förhåller sig mellan varandras x till t' och t till x'.
Så den relativa hastigheten v, definierar inte ett metriskt förhållande mellan koordinatenheter, utan funktionen mellan sina egna x^2-t^2=1 och den andres detsamma förhållande för sig själv.

Vinklarna i de hyperboliska trigonometriska funktionerna är därför inte så intressanta då de är vad som definieras av v, då olika koordinatsystem kan definiera v vid olika punkter längs enhetshyperbolan. Det är c^2 som är intressant, inte individuella c, så den hyperboliska arealagen är vad som representerar förhållandet mellan två koordinatsystem.
För enhetscirkeln x^2+y^2=1 så är en punkt längs omkretsen (cos(vinkel), sin(vinkel)).
Arean av en (1/2)r^2vinkel2pi. Så (cos(pi vinkel), sin(pi vinkel) ger arean av ett cirkelsegment hos en enhetscirkel.
Då en enhetahyperbola x^2-y^2=1 inte roterar kring origo med 2pi, utan rör sig mot oändligt när x=y, när vinkeln mellan x-planet och 45 grader där x=y motsvarar vinkel pi rotation, så (cosh(pi vinkel), sinh(pi vinkel)), ger arean mellan vinkeln och hyperbolans bågsegment, vars kvadratform är vad som förhåller funktionerna hos koordinatsystem till varandras, med (cosh^2(pi vinkel))-(sinh^2(pi vinkel))=1.

Med en skopa reservation för fel med dimensionerna någonstans.