Trianglar i Minkowskirummet (relativitetsteori)

Ett hörn på triangeln är en händelse i rumtiden, dvs en punkt i rummet vid en viss tidpunkt. Triangeln har tre hörn och dessa binds ihop med räta linjer.

I "vanlig" Euklidusk geometri E gäller t ex triangelolikheten
a + b ≥ c
för dess sidlängder a, b och c. Triangelns vinkelsumma är 180°, och vinklar och sidor är relaterade med olika samband som t ex cosinussatsen och sinussatsen. Det finns rätvinkliga trianglar och dessa uppfyller Pythagoras sats. Om alla sidor är heltal kallas de egyptiska trianglar, som t ex 3,4,5 (3²+4²=5²).

Sådana finns även i Minkowskirummet M, men där finns det även trianglar som INTE uppfyller dessa relationer. T ex finns det trianglar som uppfyller
a + b ≤ c
(vilken känd "paradox" är detta?).

Topic: Vilka sorters trianglar finns det i M? Kan de de klassificeras på något bra sätt? Vilka olikheter och matematiska relationer finns det för dessa? Vilken fysikalisk tolkning kan man ge i de olika fallen? Finns det fler sorters "egyptiska trianglar", dvs trianglar med heltalssidor, i M jämfört med E? I så fall, ge något exempel.

Har några svar själv men avvaktar lite med dem.

Det här är ganska krångligt, men Minkowskirummet är ett Euklidiskt rum med negativ tidsaxel tillsammans med en konstant. Det är i sig inget metriskt rum och det har i sig egentligen ingen geometri. Det är ett hastighetsprojektionsrum som tack vare sin negativa tidsaxel tillsammans med sin konstant(som man kan klara sig utan) gör det möjligt att få ett Lorentzinvariant rumtidsintervall som är en psuedo-vektor-inre produkt, eftersom den använder sig av roten ur deltan av kvadraten hos en negativ koordinatenhet.
Den hyoerboliska geometrin kommer från en struktur ovanpå detta som tar en så kallad "pullback" från ortogonala vektorer, alltså typ ett tangent plan.
Metriken man använder utgår från enhetscirkeln, alltså en sfär som strålar från origo med c, vilken absorberar alla koordinater, som definierar en radie vilken representerar x-axeln per egen tid.
Den metriken på det ortogonala planet längs r är det som ger t med dess motsatta tecken sin hyperboliska geometri, psuedo-Riemannkurvaturen, vilken är "psuedo" då metriken inte är en riktig topologisk sådan utan skapad genom denna process, vilket är vad den metriska tensorn definierar.
Med hjälp av Levi-Civitakopplingen som definierar en operation där man kan frångå vanliga regler för matrisberäkningar så behåller man den negativa metriska koordinaten för att få det invarianta rumtidsintervallet, vilket är Lorentzskalären som är psuedo-inre produkten i Minkowskirummets vektorer, vilket definieras av Lorentzsignaturen i den metriska tensorn, där Einsteins notationskonvention låter en vektor ta endast de kovarianta ortogonala vektorerna från det ortogonala planet för att definiera det man använder som metrik, vilket egentligen inte ens är en psuedo-metrik då den inte alls är topologisk utan en pragmatisk konstruktion som definieras av den metriska tensorn.

Så i Minkowskirummet så är en triangel Euklidisk då rummet är Euklidiskt, men jag antar att frågan handlar om punkter i Minkowskidiagrammet inom vilket man utför Lorentztransformationer, och där blir vinkelsumman av en triangel både mer, mindre eller detsamma som i ett vanligt Euklidiskt rum beroende på om punkterna är separerade över tidslika, rumslika eller ljuslika rumtidsintervall. Värt att notera är att alla punkter som är ljuslika har samma koordinater och är vad som definierar proper tid längs sitt plan för samtidighet. Så alla punkter längs "c" har x=t.
Eftersom rummet använder en hyperbolisk geometri och all inertial rörelse är bundet till sin geodesik så sträcker en världslinje sig från en punkt nära i rum och tid till en punkt längre bort i rum och tid, och dessa punkter har lika långt tidsintervall i förhållande till origo, men är inte samtidiga. Man skulle alltså kunna accelerera lika mycket för att komma till bägge punkter, men inte samtidigt, vilket inte är vad som definierar position i Minkowskirummet, så att de följer samma geodesik är som att säga att det är samma avstånd till bägge punkter, då avstånd rumtidsintervallet som definierar avstånden mellan världslinjer inte beror på samtidighet utan konstanten.
Så på Minkowskidiagrammet så representerar inte räta linjer, förutom "c", några räta linjer och i Minkowskirummet så är de spatiala dimensionerna ett Euklidiskt rum.
Man kan leka med sinh och cosh på miniräknaren om man vill, då "h" är för "hyperboliskt". Detta är mer trigonometri än geometri egentligen.

Vad gällande den fysikaliska tolkningen så beror det på hur man vill definiera det man menar sig göra. Om jag håller i ett långt snöre med två ljusdioder, en vid den bortre änden och en något närmre mig, snurrar denna runt huvudet och låter den träffa en lyktstolpe vid halva snörets längd så den byter rotationshastighet vid punkten snöret kollapsar runt lyktstolpen, där dess rotationsmomentum bevaras hos en tröghet med kortare radie och högre vinkelhastighet, och dioderna med ett litet avstånd från varandra vid den bortre änden blinkar på ett sätt där en diod blinkar först, sen den andra, sen efter en annan tid så blinkar den första igen, och detta blinkande sker över perioden precis innan snöret kollapsar längs mitten runt lyktstolpen till precis efter, då har jag någonting som liknar en triangel i rumtiden i ett Minkowskidiagram.

Så det beror på vad man menar.

Googlade runt litet, intressant frågeställning!

En fråga som är intressant är finns det oändligt många egyptiska trianglar? Tydligen gör det det.
Hur är det då med M rummet?. Ljusets hastighet dyker upp, men är ett rationellt tal. Då borde man kunna skala fram en egyptisk triangel, och finns det en så finns det oändligt många. Så hur jämför man oändligheter?

Kollade in wikipedia när det gällde matten.
https://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_space#cite_note-13

Tydligen gäller den omvända triangelolikheten om man har två "timelike" vektorer. Den verkar också kanske kunna gälla om man har två "spacelike", litet beroende på vad (u,v) har för tecken?

Då verkar man få den sorts trianglar som inte finns i "klassisk" geometri

Det verkar som att om man har (spacelike, timelike) så blir det inte så??
Dvs då blir det "vanliga" trianglar?

Sen verkar det som att om man har c^2t_1t_2 = x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 så pratar man om samtidighet?

Vet inte om jag förstått det här egentligen, men intressant ämne så "uppar" postcounten

Bra där!
(Dock: Topic här är alltså om trianglar i M som ju har en okrökt geometri, och inte om någon krökt undermångfald, och inte heller om GR och dess krökta rumtid. Jämför med euklidisk geometri och dess trianglar etc, som inte heller handlar om t ex sfärisk geometri, trots att en 2D sfärisk yta naturligtvis kan finnas i en 3D Euklidisk geometri.
Topic är stort nog, låt oss hålla oss till det.)

Ja, just detta är helt avgörande för en triangels egenskaper i M. Kanterna kan alltså vara av tre olika sorter:
R : rumsartad
L : ljusartad
T : tidsartad
Skillnaden ges av metriken där det finns två olika konventioner: +--- resp -+++, men väljer man den förra så definieras de olika sorters fyrvektorer v av
R : v² < 0
L : v² = 0
T : v² > 0.
Här passar jag då på att påpeka att längden på en vektor i M alltid definieras som
√|v²|
som alltid är ≥ 0.

Så med tre olika sorters kanter har vi, utan att tänka mer för nu, följande 10 klasser av trianglar:
1. RRR
2. RRL
3. RRT
4. RLL
5. RLT
6. RTT
7. LLL
8. LLT
9. LTT
10. TTT
Men är alla dessa möjliga i M? (T ex LLL?)
Vad motsvarar dessa fysikaliskt?
Vilka relationer finns det i respektive fall, t ex mellan sidlängderna och dess vinklar och/eller boost parametrar beroende på vad som är relevant?

Sant för en ljussttråle som startar från origo och rör sig längs x-axeln, enl något random koordinatsystem. Men M är mer än så, t ex även alla riktningar i y och z-riktningarna, och t ex ljusstrålar kan ju starta från andra punkter än från origo (enl samma koordinater).

Fair enough. Dock finns det kanske lite intressantare exempel för var och en av fallen.

Tack!
Och ja, jag formulerade mig lite klantigt där. Menade bara om det finns andra egyptiska trianglar i M, utöver de som finns i E. Och ja, det gör det ju.

T ex har vi följande sorts RTT:
Hörn vid (t,x) koordinaterna (med y=z=0):
A=(0,0), B=(5,0), C=(5,3)
med "katetlängderna" |AB|=5 och |BC|=3 och med en "hypotenusa" |AC| som enl Minkoswkimetriken har längden
√|5² - 3²| = 4
(notera minustecknet som är just det som skiljer M från E).

Japp! Och då passar jag på att tala om vad det är för spännande tillämpning för TTT-trianglar som ju uppfyller denna omvända triangelolikhet,
a + b ≤ c .
Detta är den s k tvillingparadoxen! a och b är de uppmätta egentiderna för den ena tvillingens ut- resp hemresa, medan c är den uppmätta egentiden för tvillingen som stannar hemma!

Tack igen.

Nja... Detta är villkoret för att de båda fyrvektorerna
v₁ = (t₁, x₁, y₁, z₁)
v₂ = (t₂, x₂, y₂, z₂)
ska vara ortogonola:
v₁ • v₂ = t₁t₂ - x₁x₂ - y₁y₂ - z₁z₂ = 0 .

Några exempel:
1. Om båda är rumsartade, dvs om v₁²<0 och v₂²<0, betyder detta att de är vinkelräta i vanlig mening (sett av en observatör för vilka båda har t-komponenten=0.
2. Om v₁ är tidsartad är det samma som någon observatörs tidsriktning, och relativt denna är alla rumskomponenter i v₁ lika med 0.
Eftersom v₂ är ortogonal mot v₁, kan då v₂ väljas som x-riktning (dvs med 0 för alla övriga komponenter.
3. Om båda är tidsartade kan de INTE vara ortogonala mot varandra.

I E är egyptiska trianglar rätvinkliga trianglar med heltalssidor.

I M kan detta generaliseras till villkoret att två av triangelns sidor ska vara ortogonala.

Det är Ricci och Weyl som finns i GR, Riemannkurvaturen är den hyperboliska geometrin i Minkowskirummet med en metrik, men okej då droppar vi det, men jag är osäker på vad det är du menar i så fall.
Menar du att du vill analysera trianglar från punkter i Minkowskirummets rum och negativa tid? Så Euklidiskt rum men med negativ tid?(psuedo-Euklidiskt) Jag är inte helt med för du får ju den hyperboliska geometrin när du använder metriken, då menat enheterna och inte koordinataxlarna och det är ju någonting annat än 180 graders vinkelsumma du pratar om och har man inte 180 graders vinkelsumma på en triangel så är ju geometrin krökt.

Så allt analyseras från origo och där punkterna har hastigheter?

Det finns två saker som menas med "metriken", dels är det enheterna, likt meter och sekund eller så är det koordinataxlarna. Koordinataxlarnas metrik är ju: c²t²-x²-y²-z², och beror på konstanten c², och enheterna kommer från enhetscirkeln.
En fyrvektor, "v", definieras ju av: v=(ct,x,y,z)=(ct,r). Det spelar ju ingen roll vilken av signaturerna man väljer, men det är ju viktigt att man följer den metriska signaturens kvadratform. Så:
R: c²t²<r²
L: c²t²=r²
T: c²t²>r²

Det där är inte fyrvektorer för det är ds² som är rumtidsintervallet, men det tar man inte roten ur, utan den är definierad i sin kvadratform.
Du definierar ju inte dina vektorer så att det där vore fyrvektorer är tveksamt om du menar att roten ur kvadratformen skulle definiera deras längder.
Positionen i rumtiden definieras med: (ct, (vt)), och längden på vektorn definieras med: (ct)²-(vt)•(vt), vilket per definition är: (cT)², där T är proper tid.
Beroende på vilken signatursform man väljer så har man ett tidslikt eller rumslikt metriskt intervall.
Alltså: (vt)•(vt)-(ct)², som per definition är s².
Så, från origo: T=√(t²-(x²+y²+z²)/c²), vilken är invariant. Så alla händelser längs Ts geodesik är: c²T²=c²t²-(x²+y²+z²). "Längden" är ju inte bara en längd, utan ett rumtidsintervall.

Så punkterna har hastigheter? Eller var i analysen avgör man punkternas förhållanden till varandra? Det är ju ett projektionsrum.
Fysikaliskt så motsvarar det vanliga Newtoniska händelser vid olika positioner vid olika tider.
Jag undrar vad du definierar vara relevant?

Hur skulle en ljusstråle kunna röra sig längs x-axeln i något koordinatsystem?
Ja, men (y, z) finns i r, och det är x tillsammans med t som ger någonting annat än ett Euklidiskt rum. Vinkeln från origo händer det ingenting lustigt med.
Ja, en ljusstråle kan ju starta från vilken punkt som helst, men den punkten vet man ju inte utan det man vet är ju när man tagit emot den bara. Lorentztransformation i Minkowskidiagrammet är ju en slags rotation kring en imaginär axel, likt Pinocaré formulerade det, så ljusstrålen man tar emot kan ha kommit precis varifrån som helst.

Det beror ju på hur du väljer att analysera trianglarna. Jag förstår inte riktigt vad du tänker dig.

Det där är inga fyrvektorer utan det där är vanliga "händelse"-vektorer. Det är inte skalärprodukten(psuedo-intre-produkten) från dem som är invariant utan det är (ct)²-(ct, (vt))•(ct, vt), vilket definierar (cT)².
Där: (ct, vt)•(ct, vt)-(ct)² definierar det invarianta rumtidsintervallet s², vilket då det är ett intervall och man inte har enheter så är det ds² eller lika väl deltan av s², som är det som är intressant. t₁ och t₂ ska vara produkten av de själva och den per definition invarianta skalären c, och ct är negativ då den är produkten av en osynlig imaginär enhet.

Värt att nämna är att Minkowskidiagrammet då är ett hastighets-projektionsrum byggt av Minkowskirummet, inom vilket man behandlar skillnader.
En hastighet har en absolut ljuskon som är definierad som:
c²dt²-(dx²+dy²+dz²)=0
Där x=t vid hastigheten c. x=vt per definition.
Skillnaden mellan olika proper tid är:
dT=√(dt²-(dx²+dy²+dz²)/c²)
Vilket är detsamma som:
dT=√(1-v²/c²)dt
Så rummets hyperbolik har negativ kurvatur med radien c, med:
c²(dt/dT)²-(dx/dT)²-(dy/dT)²-(dz/dT)²=c²
Där då c² är enhetscirkeln som definierar metriken genom att planet för "samtidighet" definieras från mitten av två koordinatsystem genom Einsteinsynkronisering. Bägge koordinatsystem tar emot c från 45 grader, så från punkten för samtidighet så är de vridna 90 grader från varandra, vilket är skillnaden mellan deras respektive t och x-axlar som avgör relativ hastighet v eller x=vt i förhållande till gränsen c där x=t. Detta per definition då denna punkten tar medlet av bägge koordinatsystemens uppfattning om deras relativa hastighet. Då ljus kommer in från 45 grader och punkten för samtidighet definierar förhållandet mellan två koordinatsystems t-axlar, så då också x-axlar, genom att sända ljus i 45 grader till respektive koordinatsystems t så de tar emot ljuset samtidigt, vilket punkten för samtidighet definierar genom att den kan ta emot ljuset samtidigt när det studsat tillbaka, i enlighet med Einsteinsynkroniseringen.
Så det skiljer en vridning på 90 grader från punkten i mitten mellan två koordinatsystem och bägge tar emot den andres ljus från 45 grader.

Det är vad som gör att man kan härleda allas absoluta egenskaper. En vridning som sker i den imaginära axeln, vars enhet är produkten tillsammans med konstanten c och t som gett ct sin negativa riktning, där vridningen i den imaginära axeln är vad som förhåller ett koordinatsystems 90 grader mellan x och t-axeln, och c där x=t.
Det den skalära konstanten c egentligen representerar är inte ljusets hastighet utan hastigheten för kausalitet.

Tror jag hittade en "tillämpning"/tolkning av en triangelklass när jag tänkte på ett annat problem. Problemet är vad ser man (och då menar jag ser, med ljus) när en kropp rör sig relativt dig med hastighet nära c. Jag tänker så här:

Ta en given händelse på kroppens världslinje, A. En ljussignal när dig från A efter en tid t. Vilka andra händelser på kroppens världslinje når dig efter samma tid? Det är vad du ser. Antag att kroppen rör sig mot dig. Efter en liten tid dt är kroppen närmre dig och ljussignalerna från en händelse B når dig efter en kortare tid t' = t - dt. Så nu har vi en triangel OAB, där OA och OB är ljusartade. Enligt den vanliga triangelolikheten gäller för de spatiala avstånden att OA < OB + AB. Låt v' = AB / dt. Då gäller t = OA / c = OB / c + AB / v', dvs. OB + AB * c/v' < OB + AB eller v' > c, sidan AB är rumsartad. Vi har alltså en LLR triangel. Tolkningen är att R-sidan ansluter två händelser på en världslinje vars ljussignaler när dig samtidigt. En konsekvens av detta är t.ex. att du kan aldrig få två ljussignaler från samma punkt på en kropp samtidgt, då de händelserna nödvändigtvis är tidslikt anslutna.

Precis! Så alla händelser vi ser vid en viss tidpunkt måste vara kausalt separerade. Bra exempel på LLR. Och så har vi ju där även Einsteins tankeexperiment med blixtarna som träffar fram och bakända på ett tåg, och där det iaf finns en observatör som ser dessa samtidigt.

Däremot finns det ju andra sätt att realisera LLT. Ett exempel:
En laserpuls sänds från jorden mot månen, studsar på spegeln som finns där, och återkommer till jorden. De båda rumtidpunkterna på jorden separeras av ett tidsartat intervall, och utgående resp ingående ljuspuls följer ju ljusartade fyrvektorer.

Ang LLL måste en sådan vara degenererad så att alla kanter är parallella. Låt två ljusartade fyrvektorer ges av (som förut med enheter där c=1)
L₁ = (|r₁|, r₁)
L₂ = (|r₂|, r₂)
och så vill vi att summan också ska bli ljusartad, dvs
0 = (L₁ + L₂)² = (|r₁| + |r₂|)² - (|r₁ + r₂)²
= 2 |r₁| |r₂| - 2 r₁ • r₂
Alltså måste
r₁ • r₂ = |r₁| |r₂|
dvs r₁ och r₂ måste vara parallella.
Så LLL tycker jag att vi kan räkna bort.

Finns det egyptiska trianglar som är LLR och LLT? Till att börja med måste två kanter vara ortogonala. Men två L-kanter är bara ortogonala om de är parallella (låter konstigt i Euklidisk geometri, men i Minkowski funkar det ju faktiskt så), och därmed blir ju även den tredje kanten L. En L och R kan vara ortogonala,
L•R = 0
(t ex om L=(1,1,0,0) och R=(0,0,y,z)
men då måste även den 3e sidan vara ett R:
(L + R)² = L² + 2 L•R + R² = 0 + 0 + R² < 0 .

Så NEJ, det finns inga ortogonala trianglar öht med två L-kanter (utom den degenererade LLL).

Alla händelser är ju per definition kausalt separerade, liksom allt är. Men en observatör måste ju härleda ordningen om denne inte definierar händelsen hos sig själv när denne observerat en annan händelse.
Det joow funderar på har ju med längdkontraktion att göra, där man definierar "observationen" genom den matematiska processen som härleder ett objekts längd utifrån en mätning som görs av två punkter, från en själv vid ett och samma ögonblick, vilket han har rätt att vilja särskilja från vad man skulle se med sina egna ögon, utan att härleda en längd genom någon matematisk formalism.
Formalismen för längdkontraktion kräver nämligen att två händelser vid olika rumtidspunkter inte separeras kausalt från ens egna koordinater. Alltså, två rumtidspunkter förhålls till en rumtidspunkt.

Det representerar ju ingen reell process utan definierar "samtidighet" genom "Einsteinsynkronisering".
Om en rumtidspunkt skulle byta tillstånd till ett som berodde på att två ljuspulser interfererade så rumtidspunkten hamnade i ett tillstånd denna endast kunde hamna i om interferensen av dessa två pulser skedde så har denne inte sett två saker samtidigt, utan en sak som berodde på två, vilket den måste ha annan vetskap för att kunna veta.

Att två rumtidspunkter har tidslika intervall som separerar dem betyder bara att de kan ha kausal påverkan på varandra. Att det är tidslika intervall betyder inte att det bara är tid som separerar dem utan alla intervall är rumtidsintervall. Att bägge punkter på jorden är separerade av tidslika intervall är ju definierat av att bägge är på samma plats.

Vad är en ljuslik fyrvektor? Det betyder ju bara att x=t och t=x, eftersom c²t²=r², där r=(x,y,z), där t=vx och x=vt, så att det är en ljuslik fyrvektor säger bara att den separerar två händelser med t och x.
"Ljuspulserna" följer ingenting, utan origo hos händelsernas koordinatsystem definierar varandra så.

Parallella för vem? Jag förstår fortfarande inte vem du utgår från som avgör vinklar, eller hur.

Två ljusartade fyrvektorer är vx eller vt när x=t och t=x, och v är 1/√1-(v²/c²), vilket är dt/dT, där T är proper tid.

Proper tid hos en fyrvektor avgörs genom förhållandet mellan olika tider, så man kan inte definiera en fyrvektor från en rumtidspunkt utan den avgörs genom förhållandet mellan två, eller tre om den första rumsliga punkten ska få vetskap om den. Därför definieras de alltid med skillnaden och inte genom absoluta enheter, då man inte har några enheter. Så:
dT=ds/c, där s är ett rumtidsintervall.
ds=cdT, där:
ds²=c²dT²=c²dT²-dx²_T-dy²_T-dz²_T

Så vad representerar dina ljuslika fyrvektorer? Ett rumtidsintervall som bedöms hur? Att c=1 säger inte tillräckligt och det innebär ju inte att allt blir Newtoniskt och Euklidiskt, utan det är ju fortfarande alltid rumtidsintervall man har att göra med. Man kan inte separera rum och tid och behandla dem separat. Alla händelser längs en observatörs c-axel har ju samma koordinater men det betyder ju inte att händelser som sker längs denna sträckan sker samtidigt, utan det avgörs ju när observatören får vetskap om att en händelse har skett längs den axeln.
Så vad är det för fyrvektorer? Positionsvektorer antar jag att vi önskar börja med innan vi funderar på hastighetsvektorer, men positionsvektorer är ju rumtidspositionsvektorer. Så:
L=(ct, (x,y,z)), och om vektorn är ljuslik och c=1 så är vektorn (x,y,z)=r, alltså r(t).
Så frågan är fortfarande hur du avgör (x,y,z) och t.
Är det mellan två händelser som är separerade med ett ljuslikt rumtidsintervall? Om så, så är dessa från en observatörs origo bara x=t eller t=x. Annars måste densamma observatören få vetskap om att en händelse skett längs den axeln efter någon t=vx=x=vt, där v då är förändringen av fyrpositionsvektorn, som utan förändring bara är fyrpositionsvektorn.

Så summan för vem och av vad? Parallell för vem och hur? Ortogonal för vem och hur?
Vad betyder det ens att du sätter en r som bas, och vad betyder det ens?
Vad betyder det att ta skalärprodukten ur r?
Vad är ens r?
Skriv ut definitionen av dem istället för det är inte fyrvektorer.

Börja med att berätta hur du avgör dessa saker. Vad är en kant mellan två ljuslika fyrvektorer? Varför är de ortogonala om de är parallella och hur är de ortogonala eller parallella? Skriv ut definitionerna av vektorerna och förklara hur du behandlar dem.
Vad är en kant?
Vad för någonting utgör en ljuslik vektor?

Det där är inga fyrvektorer och skalärprodukten av de där ger inte det där.
Hur skulle man ens kunna koppla ihop två händelser som är separerade med ett rumslikt rumtidsintervall och två punkter som är separerade med ett ljuslikt rumtidsintervall? Själva definitionen av att de är separerade med ett rumslikt rumtidsintervall är ju att de inte kan vara sammankopplade ens med ett ljuslikt rumtidsintervall.
"0 + 0 + R²"? R=(0,0,y,z)? Hur skulle du kunna få 0? En positionsfyrvektor som separerar två händelser med ett rumslikt rumtidsintervall kan ju omöjligen definieras så, och en ljuslik separation måste ju definiera händelsen som definierar den.
Jag har ingen aning om vad du menar med någonting alls, men det ser ut som att du tror att en fyrvektor bara är en extra koordinat där du behandlar allt som om det vore ett Euklidiskt rum med Newtonisk mekanik, där du separerar tid från rum.
Vill du vänligen förklara vad du menar?

Det du gör här har ju ingenting med relativism eller Minkowskirummet att göra så det behövs ju inte några citattecken för varken "kateter" eller "hypotenusa", för detta är ju ett vanligt Euklidiskt 2D-rum.
Det som kräver citattecken är "metriken" och "längden".
Det är sannerligen inte bara minustecknet som skiljer M från E och det du har gjort är endast E, antingen med ett minustecken eller utan då du har 3an i kvadrat, så den blir positiv igen.

Det är inte din 4a som är hypotenusan utan din -3². Din 4a ska vara 0 för att definiera det invarianta rumtidsintervallet, med betoning på såväl "rumtids" och "intervall", alltså skillnad inte mätetal, såväl som proper tid.

x²+y²+z²=c²t²
Eller:
x²+y²+z²-c²t²=0

Det här är ju inte egentligen 4-dimensioner, utan 3. Notera att detta är standard Pythagoras a²+b²=c², men omflyttningen gett a²+b²-c²=0. Vad detta består av är alltså två delar varav den ena är t>0 och den andra är t<0. Att detta är i sin kvadratform är lika viktigt som att det finns ett minustecken med, vilket är lika viktigt som att det finns en konstant med, vilken definierar en funktion som gör den invariant.

ds²=c²dT²-dx_T²-dy_T²-dz_T²=c²dT
Notera att c²dT² minus allt annat också blir c²dT².
Detta då allt annat är skillnaden mellan positioner, vilket är hastighet, där alla koordinater längs c är 0, och eftersom förändringen avgörs med proper tid, alltså klockan som följer med, vilken då inte förändrar sin position längs x,y,z då den är i origo i sitt egna koordinatsystem, så den skillnaden är 0.

ds=cdT
Eller:
dT=ds/c
Vilket är detsamma som:
dT=√1-(v²/c²)dt
Där:
v=√((dx/dt)²+(dy/dt)²+(dz/dt)²),
vilken ges i enheten "av ljusets hastighet", som egentligen är hastigheten för kausalitet.
Så:
√(x²+y²+z²)=s=ct
Där:
x²=c²t²,
och vid c så är x=t eller omvänt t=x, så allt längs c har rumtidsintervallet 0.


r•r=c²t²=x²+y²+z²
Där då:
x²+y²+z²-c²t²=0
Eller alltså:
x²+y²+z²-r•r=0

Meningen med "rumtidsintervall med tids-/rumslik separation mellan händelser" är egentligen meningslösa. Det är bara när ds²=0 som det säger någonting om förhållanden mellan skillnaden mellan positioner i tid och rum. Allt annat bara viktar ds² från att vara större eller mindre än 0 med skillnaden som ger 0.

En fyrposition definieras av:
(ct, (x,y,z))
där också:
x=ct
Eftersom ens egna koordinatsystems t-axel också är x=0 så definieras relativ rörelse längs t-axeln med:
x=vt,
vilket alltså ger händelser längs t axeln rakt upp, som är x=0.
Så vid en hastighet så är:
x'=x-vt,
när:
t'=t,
alltså när man viktar dem så att:
(t'+t)-(t+t')=0,
vilket inte behöver göras så utan kan handviftas bara betyda:
t'-t=0, eller: t-t'=0.

Att:
x'=x-vt
är alltså detsamma som:
x'=ct-vt
vilket är detsamma som:
(c-v)t.
Så Lorentztransformationer i t och x, som är, för tidsdilatation:
ct=γct',
och för längdkontraktion:
L=(1/γ)L',
där:
γ=1/√(1-(v²-c²)),
vilket är detsamma som:
γ=dt/dT,
där som sagt ovan:
dT=ds/c,
där:
ds=cdT,
så:
cdT/c=dT.

Så när s²=0, så är:
s²=s²'=-c²(t_2'-t_1')²,
då:
t=ct,
så skiljer sig två händelser med relativ hastighet med:
A=(0,ct_1'),
och:
B=(0,ct_2'),
vilket är detsamma som:
A=x_1'
och:
B=x_2',
eftersom proper tid längs axeln som definierar den relativa hastigheten, definierar:
T=c(t_2'-t_1').

Så när v=c så:
s²=s²'
då:
-c²(t_2'-t_1')=0.
När v inte är c så är:
dT=√(1-(v²/c²))dt.

Detta då:
ds²= -c²dT²,
vilket är detsamma som:
-c²dt²+dx²+dy²+dz²,
så:
d(-c²(t_2'-t_1')²)=-c²(√(1-(v²/c²)dt)².

Detta kommer då från:
-c²dt²+dx²+dy²+dz²=0,
där skillnaden mellan positioner, som är hastighet, då är:
v=√((dx/dt)²+(dy/dt)²+(dz/dt)²).

Notera att:
v=√r²,
beror på t, där t=ct,
så en fyrvektor som definieras med:
(ct, r),
alltså definierar förhållandet mellan ens t vid x=0, från c där t=x, genom att:
c²dt²-dx²-dy²-dz²,
eller:
c²dt²-r²,
alltså:
c²dt²-r•r.
där:
√r²•r²=v
ger att:
√r²•r²= -√(c²dt²)
eller att:
√(c²dt²)-√r²•r²=0,
eller:
√(c²dt²)-√v²=0.

Då v=√((dx/dt)²...), så:
cdt-v=0,
och eftersom v beror på t och x, som bägge definieras av ct, så:
cdt-(dct/dct)=0,
eller:
cdt=(dct/dct),
vilket när c=1, är vad som ger:
1/√1-(v²/c²),
eller då:
dt/dT,
alltså:
γ,
så:
ct=γct'.

Då:
ds²=c²dT²=(cdT)²=(cdt)²-dr•dr,
så:
(cdT/cdt)²=1-(dr/cdt•dr/cdt)=1-((v•v)/c²),
där:
v=dr/dt,
så:
dt=γ(v)dT,
vilket definierar:
d/dT,
där dT alltså är:
dT=ds/c,
och ds är:
ds=cdT.

Siffror och grejer...