Jag hoppar in som kvällens ”gästföreläsare” 
Vi har genom Nails redovisning följande samband;
\[
\left\{
\begin{aligned}
\cos^2(\alpha/2) &= \tfrac{77}{96}\\
\cos^2(\beta/2) &= \tfrac{133}{144}\\
\cos^2(\gamma/2) &= \tfrac{175}{384}
\end{aligned}
\right.
\quad\Leftrightarrow\quad
\left\{
\begin{aligned}
\sin^2(\alpha/2) &= \tfrac{19}{96}\\
\sin^2(\beta/2) &= \tfrac{11}{144}\\
\sin^2(\gamma/2) &= \tfrac{209}{384}
\end{aligned}
\right.
\]
Ev. beräknade Nail ej \(\gamma\) men jag har gjort det, för den som, till trots, vill räkna på samtliga fall som kan uppstå, vilket nerdnerd tidigare påpekade. I det följande fokuseras enbart på den, av mig och Nail, modifierade frågeställningen där båda cirklar tangerar den längsta sidan, i föreliggande presentation, sidan AB.
Från ovanstående samband fås
\[
\left\{
\begin{aligned}
A&=\cot(\alpha/2)=\sqrt{\tfrac{77}{19}}\\
B&=\cot(\beta/2)=\sqrt{\tfrac{133}{11}}\\
C&=\cot(\gamma/2)=\sqrt{\tfrac{175}{209}}
\end{aligned}
\right.
\]
där \(A\) och \(B\) (och \(C\)) är beteckningar för cotangensuttrycken, vilket kommer till användning senare.
Betrakta följande figur.
Med angivna betecknar fås följande ekvation för sidan AB;
\begin{align*}
15
&=
|AD|+|DE|+|EB|
=|DO|\cot(\alpha/2)+|OF|+|EP|\cot(\beta/2)
\\&
=A|DO|+\sqrt{|OP|^2-|FP|^2}+B|EP|
=Ar+\sqrt{(R+r)^2-(R-r)^2}+BR
\\&
=Ar+2\sqrt{Rr}+BR
=BR+2\sqrt{\vphantom{R}\smash{r}}\sqrt{R}+Ar
\end{align*}
d.v.s.
\[
BR+2\sqrt{r}\sqrt{R}+Ar-15=0
\]
som är kvadratisk i \(\sqrt{R}\).
"Your mission, should you decide to accept it…" är att lösa ekvationen med avseende på \(R\) varpå deluppgift a) därmed är avklarad.
Vi har genom Nails redovisning följande samband;
\[
\left\{
\begin{aligned}
\cos^2(\alpha/2) &= \tfrac{77}{96}\\
\cos^2(\beta/2) &= \tfrac{133}{144}\\
\cos^2(\gamma/2) &= \tfrac{175}{384}
\end{aligned}
\right.
\quad\Leftrightarrow\quad
\left\{
\begin{aligned}
\sin^2(\alpha/2) &= \tfrac{19}{96}\\
\sin^2(\beta/2) &= \tfrac{11}{144}\\
\sin^2(\gamma/2) &= \tfrac{209}{384}
\end{aligned}
\right.
\]
Ev. beräknade Nail ej \(\gamma\) men jag har gjort det, för den som, till trots, vill räkna på samtliga fall som kan uppstå, vilket nerdnerd tidigare påpekade. I det följande fokuseras enbart på den, av mig och Nail, modifierade frågeställningen där båda cirklar tangerar den längsta sidan, i föreliggande presentation, sidan AB.
Från ovanstående samband fås
\[
\left\{
\begin{aligned}
A&=\cot(\alpha/2)=\sqrt{\tfrac{77}{19}}\\
B&=\cot(\beta/2)=\sqrt{\tfrac{133}{11}}\\
C&=\cot(\gamma/2)=\sqrt{\tfrac{175}{209}}
\end{aligned}
\right.
\]
där \(A\) och \(B\) (och \(C\)) är beteckningar för cotangensuttrycken, vilket kommer till användning senare.
Betrakta följande figur.
Med angivna betecknar fås följande ekvation för sidan AB;
\begin{align*}
15
&=
|AD|+|DE|+|EB|
=|DO|\cot(\alpha/2)+|OF|+|EP|\cot(\beta/2)
\\&
=A|DO|+\sqrt{|OP|^2-|FP|^2}+B|EP|
=Ar+\sqrt{(R+r)^2-(R-r)^2}+BR
\\&
=Ar+2\sqrt{Rr}+BR
=BR+2\sqrt{\vphantom{R}\smash{r}}\sqrt{R}+Ar
\end{align*}
d.v.s.
\[
BR+2\sqrt{r}\sqrt{R}+Ar-15=0
\]
som är kvadratisk i \(\sqrt{R}\).
"Your mission, should you decide to accept it…" är att lösa ekvationen med avseende på \(R\) varpå deluppgift a) därmed är avklarad.
__________________
Senast redigerad av Math-Nerd 2021-03-04 kl. 21:05.
Senast redigerad av Math-Nerd 2021-03-04 kl. 21:05.
Citat:
Jag hoppar in som kvällens ”gästföreläsare”
Vi har genom Nails redovisning följande samband;
\[
\left\{
\begin{aligned}
\cos^2(\alpha/2) &= \tfrac{77}{96}\\
\cos^2(\beta/2) &= \tfrac{133}{144}\\
\cos^2(\gamma/2) &= \tfrac{175}{384}
\end{aligned}
\right.
\quad\Leftrightarrow\quad
\left\{
\begin{aligned}
\sin^2(\alpha/2) &= \tfrac{19}{96}\\
\sin^2(\beta/2) &= \tfrac{11}{144}\\
\sin^2(\gamma/2) &= \tfrac{209}{384}
\end{aligned}
\right.
\]
Ev. beräknade Nail ej \(\gamma\) men jag har gjort det, för den som, till trots, vill räkna på samtliga fall som kan uppstå, vilket nerdnerd tidigare påpekade. I det följande fokuseras enbart på den, av mig och Nail, modifierade frågeställningen där båda cirklar tangerar den längsta sidan, i föreliggande presentation, sidan AB.
Från ovanstående samband fås
\[
\left\{
\begin{aligned}
A&=\cot(\alpha/2)=\sqrt{\tfrac{77}{19}}\\
B&=\cot(\beta/2)=\sqrt{\tfrac{133}{11}}\\
C&=\cot(\gamma/2)=\sqrt{\tfrac{175}{209}}
\end{aligned}
\right.
\]
där \(A\) och \(B\) (och \(C\)) är beteckningar för cotangensuttrycken, vilket kommer till användning senare.
Betrakta följande figur.
Med angivna betecknar fås följande ekvation för sidan AB;
\begin{align*}
15
&=
|AD|+|DE|+|EB|
=|DO|\cot(\alpha/2)+|OF|+|EP|\cot(\beta/2)
\\&
=A|DO|+\sqrt{|OP|^2-|FP|^2}+B|EP|
=Ar+\sqrt{(R+r)^2-(R-r)^2}+BR
\\&
=Ar+2\sqrt{Rr}+BR
=BR+2\sqrt{\vphantom{R}\smash{r}}\sqrt{R}+Ar
\end{align*}
d.v.s.
\[
BR+2\sqrt{r}\sqrt{R}+Ar-15=0
\]
som är kvadratisk i \(\sqrt{R}\).
"Your mission, should you decide to accept it…" är att lösa ekvationen med avseende på \(R\) varpå deluppgift a) därmed är avklarad.
Vi har genom Nails redovisning följande samband;
\[
\left\{
\begin{aligned}
\cos^2(\alpha/2) &= \tfrac{77}{96}\\
\cos^2(\beta/2) &= \tfrac{133}{144}\\
\cos^2(\gamma/2) &= \tfrac{175}{384}
\end{aligned}
\right.
\quad\Leftrightarrow\quad
\left\{
\begin{aligned}
\sin^2(\alpha/2) &= \tfrac{19}{96}\\
\sin^2(\beta/2) &= \tfrac{11}{144}\\
\sin^2(\gamma/2) &= \tfrac{209}{384}
\end{aligned}
\right.
\]
Ev. beräknade Nail ej \(\gamma\) men jag har gjort det, för den som, till trots, vill räkna på samtliga fall som kan uppstå, vilket nerdnerd tidigare påpekade. I det följande fokuseras enbart på den, av mig och Nail, modifierade frågeställningen där båda cirklar tangerar den längsta sidan, i föreliggande presentation, sidan AB.
Från ovanstående samband fås
\[
\left\{
\begin{aligned}
A&=\cot(\alpha/2)=\sqrt{\tfrac{77}{19}}\\
B&=\cot(\beta/2)=\sqrt{\tfrac{133}{11}}\\
C&=\cot(\gamma/2)=\sqrt{\tfrac{175}{209}}
\end{aligned}
\right.
\]
där \(A\) och \(B\) (och \(C\)) är beteckningar för cotangensuttrycken, vilket kommer till användning senare.
Betrakta följande figur.
Med angivna betecknar fås följande ekvation för sidan AB;
\begin{align*}
15
&=
|AD|+|DE|+|EB|
=|DO|\cot(\alpha/2)+|OF|+|EP|\cot(\beta/2)
\\&
=A|DO|+\sqrt{|OP|^2-|FP|^2}+B|EP|
=Ar+\sqrt{(R+r)^2-(R-r)^2}+BR
\\&
=Ar+2\sqrt{Rr}+BR
=BR+2\sqrt{\vphantom{R}\smash{r}}\sqrt{R}+Ar
\end{align*}
d.v.s.
\[
BR+2\sqrt{r}\sqrt{R}+Ar-15=0
\]
som är kvadratisk i \(\sqrt{R}\).
"Your mission, should you decide to accept it…" är att lösa ekvationen med avseende på \(R\) varpå deluppgift a) därmed är avklarad.
Tack för det!
Återstår att lösa deluppgift b):
Ange det minsta värdet av cirklarnas sammanlagda area.
Någon som har kläm på hur man löser den?
Efter lite övervägningar så kan jag förklara ett sätt att göra detta på:
Låt den sidan av trianglen som de två cirklarna tangerar ligga längs x axeln.
Låt en av trianglarna ha radien r och tangera x-axeln vid x_r, på samma sätt låt den andra trianglen ha radie R och tangera den vid x_R.
Pythagoras ger oss att:
(x_r-x_R)^2+(r-R)^2=(r+R)^2
Med andra ord:
(x_r-x_R)^2-4rR=0
Notera att x_r och x_R beror linjärt på r respektive R. Använder man detta får vi:
(r/A+R/B-L)^2-4rR=0 (*)
Den nyfikne kan hyfsat enkelt lista ut vad A,B och L är utifrån triangeln.
Vi vill minimera r^2+R^2 när (*) uppfylls, med andra ord hitta tangentpunkten mellan en liten cirkel med centrum i origo O och vad det nu är för form som (*) ger. Ekvationen (*) kan skrivas som:
(1-AB)(r/A+R/B-L/(1-AB))^2+AB(r/A-R/B)^2=ABL^2/(1-AB)
Den som var tillräckligt nyfiken tidigare har nog listat ut att A,B är positiva tal vars produkt är mindre än 1, så figuren är en ellips. Vi har tur för linjen mellan origo och centrum C av ellipsen och en av ellipsens axlar SAMMANFALLER.
Börja med att skapa ett parallellogram, vars sidor är parallella med ellipsens axlar och som har hörn i C samt motstående hörn P någonstans på ellipsen. Notera att ett av de andra hörnen Q på vårt parallellogram ligger på linjen mellan O och C.
Bilda triangeln med hörn O,P,Q. Om vi använder cosinussatsen för att beräkna längden OP (som alltså ska minimeras) så får vi ett uttryck som inte är särskilt svårt att optimera. Med lite algebra kommer det handla om att hitta extrempunkter till ett polynom som ser ut som (t-a)(t+a)(t+b)^2, där både a och b har något att göra med figuren (och inte är särskilt besvärliga att hitta, inte för att jag orkar göra det explicit men ändå
), en ledtråd är att t motsvarar längden PQ...
(Ändring: minst ett r i originaltexten skulle varit R (och lite annat smått och gott tydligen(missade ett L^2, men hoppas det inte är fler allvarliga formelmisstag
))...)
Låt den sidan av trianglen som de två cirklarna tangerar ligga längs x axeln.
Låt en av trianglarna ha radien r och tangera x-axeln vid x_r, på samma sätt låt den andra trianglen ha radie R och tangera den vid x_R.
Pythagoras ger oss att:
(x_r-x_R)^2+(r-R)^2=(r+R)^2
Med andra ord:
(x_r-x_R)^2-4rR=0
Notera att x_r och x_R beror linjärt på r respektive R. Använder man detta får vi:
(r/A+R/B-L)^2-4rR=0 (*)
Den nyfikne kan hyfsat enkelt lista ut vad A,B och L är utifrån triangeln.
Vi vill minimera r^2+R^2 när (*) uppfylls, med andra ord hitta tangentpunkten mellan en liten cirkel med centrum i origo O och vad det nu är för form som (*) ger. Ekvationen (*) kan skrivas som:
(1-AB)(r/A+R/B-L/(1-AB))^2+AB(r/A-R/B)^2=ABL^2/(1-AB)
Den som var tillräckligt nyfiken tidigare har nog listat ut att A,B är positiva tal vars produkt är mindre än 1, så figuren är en ellips. Vi har tur för linjen mellan origo och centrum C av ellipsen och en av ellipsens axlar SAMMANFALLER.
Börja med att skapa ett parallellogram, vars sidor är parallella med ellipsens axlar och som har hörn i C samt motstående hörn P någonstans på ellipsen. Notera att ett av de andra hörnen Q på vårt parallellogram ligger på linjen mellan O och C.
Bilda triangeln med hörn O,P,Q. Om vi använder cosinussatsen för att beräkna längden OP (som alltså ska minimeras) så får vi ett uttryck som inte är särskilt svårt att optimera. Med lite algebra kommer det handla om att hitta extrempunkter till ett polynom som ser ut som (t-a)(t+a)(t+b)^2, där både a och b har något att göra med figuren (och inte är särskilt besvärliga att hitta, inte för att jag orkar göra det explicit men ändå
), en ledtråd är att t motsvarar längden PQ...(Ändring: minst ett r i originaltexten skulle varit R (och lite annat smått och gott tydligen(missade ett L^2, men hoppas det inte är fler allvarliga formelmisstag
))...)
__________________
Senast redigerad av Dr-Nej 2021-03-05 kl. 13:05.
Senast redigerad av Dr-Nej 2021-03-05 kl. 13:05.
Citat:
Ibland går det ju lite snabbt. Tänkte att jag skulle räkna lite explicit och det går ju lite snett i sista steget. Uttrycket som ska optimeras blir ju inte riktigt så enkelt som jag skrev. Vart ju nöjd när jag trodde mig hitta ett enkelt fjärdegrads polynom (för det är det man får om man inte gör något speciellt klurigt när man har (*) och det vi vill optimera r^2+R^2, typ om vi använder lagrange-multiplikatorer eller något sådant...). Det "går" ju såklart att lösa fjärdegradspolynom, men finns väll ingen som är så intresserad av det här problemet Efter lite övervägningar så kan jag förklara ett sätt att göra detta på:
Låt den sidan av trianglen som de två cirklarna tangerar ligga längs x axeln.
Låt en av trianglarna ha radien r och tangera x-axeln vid x_r, på samma sätt låt den andra trianglen ha radie R och tangera den vid x_R.
Pythagoras ger oss att:
(x_r-x_R)^2+(r-R)^2=(r+R)^2
Med andra ord:
(x_r-x_R)^2-4rR=0
Notera att x_r och x_R beror linjärt på r respektive R. Använder man detta får vi:
(r/A+R/B-L)^2-4rR=0 (*)
Den nyfikne kan hyfsat enkelt lista ut vad A,B och L är utifrån triangeln.
Vi vill minimera r^2+R^2 när (*) uppfylls, med andra ord hitta tangentpunkten mellan en liten cirkel med centrum i origo O och vad det nu är för form som (*) ger. Ekvationen (*) kan skrivas som:
(1-AB)(r/A+R/B-L/(1-AB))^2+AB(r/A-R/B)^2=ABL^2/(1-AB)
Den som var tillräckligt nyfiken tidigare har nog listat ut att A,B är positiva tal vars produkt är mindre än 1, så figuren är en ellips. Vi har tur för linjen mellan origo och centrum C av ellipsen och en av ellipsens axlar SAMMANFALLER.
Börja med att skapa ett parallellogram, vars sidor är parallella med ellipsens axlar och som har hörn i C samt motstående hörn P någonstans på ellipsen. Notera att ett av de andra hörnen Q på vårt parallellogram ligger på linjen mellan O och C.
Bilda triangeln med hörn O,P,Q. Om vi använder cosinussatsen för att beräkna längden OP (som alltså ska minimeras) så får vi ett uttryck som inte är särskilt svårt att optimera. Med lite algebra kommer det handla om att hitta extrempunkter till ett polynom som ser ut som (t-a)(t+a)(t+b)^2, där både a och b har något att göra med figuren (och inte är särskilt besvärliga att hitta, inte för att jag orkar göra det explicit men ändå), en ledtråd är att t motsvarar längden PQ...
(Ändring: minst ett r i originaltexten skulle varit R (och lite annat smått och gott tydligen(missade ett L^2, men hoppas det inte är fler allvarliga formelmisstag ))...)
Låt den sidan av trianglen som de två cirklarna tangerar ligga längs x axeln.
Låt en av trianglarna ha radien r och tangera x-axeln vid x_r, på samma sätt låt den andra trianglen ha radie R och tangera den vid x_R.
Pythagoras ger oss att:
(x_r-x_R)^2+(r-R)^2=(r+R)^2
Med andra ord:
(x_r-x_R)^2-4rR=0
Notera att x_r och x_R beror linjärt på r respektive R. Använder man detta får vi:
(r/A+R/B-L)^2-4rR=0 (*)
Den nyfikne kan hyfsat enkelt lista ut vad A,B och L är utifrån triangeln.
Vi vill minimera r^2+R^2 när (*) uppfylls, med andra ord hitta tangentpunkten mellan en liten cirkel med centrum i origo O och vad det nu är för form som (*) ger. Ekvationen (*) kan skrivas som:
(1-AB)(r/A+R/B-L/(1-AB))^2+AB(r/A-R/B)^2=ABL^2/(1-AB)
Den som var tillräckligt nyfiken tidigare har nog listat ut att A,B är positiva tal vars produkt är mindre än 1, så figuren är en ellips. Vi har tur för linjen mellan origo och centrum C av ellipsen och en av ellipsens axlar SAMMANFALLER.
Börja med att skapa ett parallellogram, vars sidor är parallella med ellipsens axlar och som har hörn i C samt motstående hörn P någonstans på ellipsen. Notera att ett av de andra hörnen Q på vårt parallellogram ligger på linjen mellan O och C.
Bilda triangeln med hörn O,P,Q. Om vi använder cosinussatsen för att beräkna längden OP (som alltså ska minimeras) så får vi ett uttryck som inte är särskilt svårt att optimera. Med lite algebra kommer det handla om att hitta extrempunkter till ett polynom som ser ut som (t-a)(t+a)(t+b)^2, där både a och b har något att göra med figuren (och inte är särskilt besvärliga att hitta, inte för att jag orkar göra det explicit men ändå
), en ledtråd är att t motsvarar längden PQ...(Ändring: minst ett r i originaltexten skulle varit R (och lite annat smått och gott tydligen(missade ett L^2, men hoppas det inte är fler allvarliga formelmisstag
))...) Så finns fortfarande utrymme för klurigheter...
Citat:
När jag såg vad Mathematica returnerade som exakt nollställe till derivatan insåg jag (om inte förr…) min egen algebraiska begränsning. Uttrycket var enormt, med flera tal i storleksordningen 10^9 IIRC. Jag nöjde mig med en numerisk lösning…
Ibland går det ju lite snabbt. Tänkte att jag skulle räkna lite explicit och det går ju lite snett i sista steget. Uttrycket som ska optimeras blir ju inte riktigt så enkelt som jag skrev. Vart ju nöjd när jag trodde mig hitta ett enkelt fjärdegrads polynom (för det är det man får om man inte gör något speciellt klurigt när man har (*) och det vi vill optimera r^2+R^2, typ om vi använder lagrange-multiplikatorer eller något sådant...). Det "går" ju såklart att lösa fjärdegradspolynom, men finns väll ingen som är så intresserad av det här problemet Så finns fortfarande utrymme för klurigheter...
Så finns fortfarande utrymme för klurigheter...
Citat:
Kollade lite på fr o m Math-Nerds slutformler med Lagrange multiplikator och variabelsubstitutioner, men det blir snabbt rätt jobbigt. Med R=x² och r=y² är bivillkoret en ellips i (x,y)-rummet. Ev bör man rotera till nya variabler så att den kvadratiska formen diagonaliseras? Ibland går det ju lite snabbt. Tänkte att jag skulle räkna lite explicit och det går ju lite snett i sista steget. Uttrycket som ska optimeras blir ju inte riktigt så enkelt som jag skrev. Vart ju nöjd när jag trodde mig hitta ett enkelt fjärdegrads polynom (för det är det man får om man inte gör något speciellt klurigt när man har (*) och det vi vill optimera r^2+R^2, typ om vi använder lagrange-multiplikatorer eller något sådant...). Det "går" ju såklart att lösa fjärdegradspolynom, men finns väll ingen som är så intresserad av det här problemet Så finns fortfarande utrymme för klurigheter...
Så finns fortfarande utrymme för klurigheter...Funderar också på vad som är bäst variabler att räkna med. R och r är viktiga men de kan kanske ses som funktioner av något annat som leder till enklare uttryck? Isf bör man kanske ta en funderare på detta från början.
Asså, jag hinner inte riktigt detta. Skriver nog mest för att heja på dem som ändå kämpar på!
En observation som jag tror missats tidigare. Ni/vi optimerar längs "fel" sida av triangeln. De två cirklarna kommer minimera arean om de tangerar den kortaste sidan, alltså den med längd 8 i det specifika problemet (detta gäller för godtyckliga trianglar).
Detta gör ju inte problemet så mycket lättare i och för sig. Men i alla fall, givet att vi hittat rätt sida så är följande typ enklaste formuleringen jag kan komma fram till: Om vi har radier r och R på cirklarna och vi inför t=r/R så nås optimum om:
(t^2-1)^2=t(at-b)^2
Där a=cot(halva vinkeln vid triangelns hörn närmast cirkeln med radie r) och b=cot(halva vinkeln vid triangelns hörn närmast cirkeln med radie R).
Om man inte vill lösa fjärdegradare så kan man istället lösa
u^3+(4-ab)u+a^2-b^2=0
Poäng till den som listar ut vad den ekvationen har med lösningen att göra Ännu fler poäng om någon lyckas formulera problemet ännu enklare så att lösningarna faktiskt blir hyfsat läsbara...
Detta gör ju inte problemet så mycket lättare i och för sig. Men i alla fall, givet att vi hittat rätt sida så är följande typ enklaste formuleringen jag kan komma fram till: Om vi har radier r och R på cirklarna och vi inför t=r/R så nås optimum om:
(t^2-1)^2=t(at-b)^2
Där a=cot(halva vinkeln vid triangelns hörn närmast cirkeln med radie r) och b=cot(halva vinkeln vid triangelns hörn närmast cirkeln med radie R).
Om man inte vill lösa fjärdegradare så kan man istället lösa
u^3+(4-ab)u+a^2-b^2=0
Poäng till den som listar ut vad den ekvationen har med lösningen att göra
Ännu fler poäng om någon lyckas formulera problemet ännu enklare så att lösningarna faktiskt blir hyfsat läsbara...
Stöd Flashback
Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!
Swish: 123 536 99 96 Bankgiro: 211-4106
