1. Vetenskap & humaniora
  2. Fysik, matematik och teknologi
  3. Matematiska och naturvetenskapliga uppgifter

Söker hjälp ekvationssystem i samband med kritiska punkter till flervariabelsfunktion

Svara
2017-12-15, 14:46
  #1
coex
Medlem
coexs avatar
Hej! Ska hitta alla kritiska punkter till funktionen f : R2 → R med f(x, y) = ((x^2)y-y-3x)(e^x)
Beräknar de partiella derivatorna och får de till f'x(x,y)=(e^x)(2xy-3+(x^2)y-y-3x) och f'y(x,y)=(e^x)(x^2-1+(x^2)y-y-3x)
Gör ett ekvationssystem där båda dessa partiella derivator är lika med noll men kan inte komma på hur jag ska lösa det. Någon som kan guida mig i rätt riktning?
__________________
Senast redigerad av coex 2017-12-15 kl. 14:51.
Citera
2017-12-15, 15:13
  #2
starke_adolf
Medlem
starke_adolfs avatar
Citat:
Ursprungligen postat av coex
Hej! Ska hitta alla kritiska punkter till funktionen f : R2 → R med f(x, y) = ((x^2)y-y-3x)(e^x)
Beräknar de partiella derivatorna och får de till f'x(x,y)=(e^x)(2xy-3+(x^2)y-y-3x) och f'y(x,y)=(e^x)(x^2-1+(x^2)y-y-3x)
Gör ett ekvationssystem där båda dessa partiella derivator är lika med noll men kan inte komma på hur jag ska lösa det. Någon som kan guida mig i rätt riktning?
Som du sagt finner du kritiska punkter där grad(f) = 0. Genom att använda gradientnotationen så slipper du skriva lika mycket (trevligt!).
grad(f) = e^x {x^2 y + 2 x y - 3 x - y - 3, x^2 - 1 } = 0
Antingen är e^x = 0 eller så är båda komponenterna i parentesuttrycket {... , ...} noll. e^x är nollskiljt för alla x, alltså måste både x^2 y + 2 x y - 3 x - y - 3 = 0 och x^2 - 1 = 0 samtidigt. Börja med det ena uttrycket, enklast är att börja med y-komponenten där man direkt ser att uttrycket är noll för (x,y)=(1,y), (-1,y). Sätt in respektive punkt i x-komponenten av grad(f) och se för vilka (x,y) denna blir noll.
(1,y): y + 2y - 3 - y - 3 = 0 ger y=3 och det följer att (1,3) är en kritisk punkt.
(-1,y): y - 2y + 3 - y - 3 = 0 ger y=0 och det följer att (-1,0) är en kritisk punkt.
Citera
2017-12-15, 15:22
  #3
starke_adolf
Medlem
starke_adolfs avatar
Antog att du var bekant med gradienten, annars kan jag förtydliga att grad(f) = (df/dx, df/dy) i det här fallet, vilket är precis de partiella derivatorna.

Se https://sv.wikipedia.org/wiki/Gradient.
Citera
2017-12-15, 15:36
  #4
coex
Medlem
coexs avatar
Citat:
Ursprungligen postat av starke_adolf
Som du sagt finner du kritiska punkter där grad(f) = 0. Genom att använda gradientnotationen så slipper du skriva lika mycket (trevligt!).
grad(f) = e^x {x^2 y + 2 x y - 3 x - y - 3, x^2 - 1 } = 0
Antingen är e^x = 0 eller så är båda komponenterna i parentesuttrycket {... , ...} noll. e^x är nollskiljt för alla x, alltså måste både x^2 y + 2 x y - 3 x - y - 3 = 0 och x^2 - 1 = 0 samtidigt. Börja med det ena uttrycket, enklast är att börja med y-komponenten där man direkt ser att uttrycket är noll för (x,y)=(1,y), (-1,y). Sätt in respektive punkt i x-komponenten av grad(f) och se för vilka (x,y) denna blir noll.
(1,y): y + 2y - 3 - y - 3 = 0 ger y=3 och det följer att (1,3) är en kritisk punkt.
(-1,y): y - 2y + 3 - y - 3 = 0 ger y=0 och det följer att (-1,0) är en kritisk punkt.
Stort tack. Mycket bra!
__________________
Senast redigerad av coex 2017-12-15 kl. 16:03.
Citera
2017-12-15, 16:23
  #5
coex
Medlem
coexs avatar
Citat:
Ursprungligen postat av starke_adolf
Som du sagt finner du kritiska punkter där grad(f) = 0. Genom att använda gradientnotationen så slipper du skriva lika mycket (trevligt!).
grad(f) = e^x {x^2 y + 2 x y - 3 x - y - 3, x^2 - 1 } = 0
Antingen är e^x = 0 eller så är båda komponenterna i parentesuttrycket {... , ...} noll. e^x är nollskiljt för alla x, alltså måste både x^2 y + 2 x y - 3 x - y - 3 = 0 och x^2 - 1 = 0 samtidigt. Börja med det ena uttrycket, enklast är att börja med y-komponenten där man direkt ser att uttrycket är noll för (x,y)=(1,y), (-1,y). Sätt in respektive punkt i x-komponenten av grad(f) och se för vilka (x,y) denna blir noll.
(1,y): y + 2y - 3 - y - 3 = 0 ger y=3 och det följer att (1,3) är en kritisk punkt.
(-1,y): y - 2y + 3 - y - 3 = 0 ger y=0 och det följer att (-1,0) är en kritisk punkt.

Hänger faktiskt inte med riktigt hur du gick från:
grad(f) = e^x {x^2 y + 2 x y - 3 x - y - 3, x^2 - 1 + x^2 y - y -3x }
till:
grad(f) = e^x {x^2 y + 2 x y - 3 x - y - 3, x^2 - 1 }
i y komponenten. Ser att termerna förekommer i de båda derivatorna men förstår ändå inte hur det går till. Missar säkert något enkelt nu har suttit alldeles för länge. Tack!
Citera
2017-12-15, 16:29
  #6
starke_adolf
Medlem
starke_adolfs avatar
Citat:
Ursprungligen postat av coex
Hänger faktiskt inte med riktigt hur du gick från:
grad(f) = e^x {x^2 y + 2 x y - 3 x - y - 3, x^2 - 1 + x^2 y - y -3x }
till:
grad(f) = e^x {x^2 y + 2 x y - 3 x - y - 3, x^2 - 1 }
i y komponenten. Ser att termerna förekommer i de båda derivatorna men förstår ändå inte hur det går till. Missar säkert något enkelt nu har suttit alldeles för länge. Tack!
Det är för att du har deriverat fel.
f'_y = d/dy{(x^2)y-y-3x)*e^x} = (x^2 -1)*e^x
Tänk på att x är en konstant m.a.p. y.
Citera
2017-12-15, 16:31
  #7
coex
Medlem
coexs avatar
Citat:
Ursprungligen postat av starke_adolf
Det är för att du har deriverat fel.
f'_y = d/dy{(x^2)y-y-3x)*e^x} = (x^2 -1)*e^x
Tänk på att x är en konstant m.a.p. y.
Där ja! Toppen tackar!
Citera
2017-12-15, 16:34
  #8
Nail
Medlem
Nails avatar
Citat:
Ursprungligen postat av starke_adolf
Som du sagt finner du kritiska punkter där grad(f) = 0. Genom att använda gradientnotationen så slipper du skriva lika mycket (trevligt!).
grad(f) = e^x {x^2 y + 2 x y - 3 x - y - 3, x^2 - 1 } = 0
Antingen är e^x = 0 eller så är båda komponenterna i parentesuttrycket {... , ...} noll. e^x är nollskiljt för alla x, alltså måste både x^2 y + 2 x y - 3 x - y - 3 = 0 och x^2 - 1 = 0 samtidigt. Börja med det ena uttrycket, enklast är att börja med y-komponenten där man direkt ser att uttrycket är noll för (x,y)=(1,y), (-1,y). Sätt in respektive punkt i x-komponenten av grad(f) och se för vilka (x,y) denna blir noll.
(1,y): y + 2y - 3 - y - 3 = 0 ger y=3 och det följer att (1,3) är en kritisk punkt.
(-1,y): y - 2y + 3 - y - 3 = 0 ger y=0 och det följer att (-1,0) är en kritisk punkt.

Enligt produktregeln bör du få fler termer i y-komponenten.
Citera
2017-12-15, 16:36
  #9
starke_adolf
Medlem
starke_adolfs avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Nail
Enligt produktregeln bör du få fler termer i y-komponenten.
Nej?

d/dy{((x^2)y-y-3x)(e^x)} = e^x * d/dy{(x^2)y-y-3x} = e^x(x^2 - 1)
Citera
2017-12-15, 16:38
  #10
starke_adolf
Medlem
starke_adolfs avatar
Citat:
Ursprungligen postat av coex
Där ja! Toppen tackar!
Ett tips för att göra det lättare att räkna! Du vet att allmänt gäller d/dy{k*f(y)} = k*d/dy{f(y)} där k är en konstant map. y och f(y) något uttryck beroende av y. Bryt därför ut konstanttermer direkt när du deriverar så slipper du bry dig om dem. I det här fallet är e^x en konstantterm map. y, så därför kan man göra som jag gjorde i svaret till Nail ovan så blir det lite mindre kladdigt och krångligt.
Citera
2017-12-15, 16:43
  #11
Nail
Medlem
Nails avatar
Citat:
Ursprungligen postat av starke_adolf
Nej?

d/dy{((x^2)y-y-3x)(e^x)} = e^x * d/dy{(x^2)y-y-3x} = e^x(x^2 - 1)

Ja, fel av mig d(e^x)/dy = 0
:-(
Citera
2017-12-15, 16:44
  #12
starke_adolf
Medlem
starke_adolfs avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Nail
Ja, fel av mig d(e^x)/dy = 0
:-(
Det händer även de bästa tydligen!
Citera
Svara

Skapa ett konto eller logga in för att kommentera

Du måste vara medlem för att kunna kommentera

Skapa ett konto

Det är enkelt att registrera ett nytt konto

Bli medlem

Logga in

Har du redan ett konto? Logga in här

Logga in