Bolzano Weierstrass-sats

Har en ny fråga som gäller extremvärdessatsen: En begränsad kontinuerlig funktion, definierad i ett slutet intervall [a,b], har ett max och min. I beviset så börjar man med att konstatera att då f(x) är begränsad, så existerar sup f(x) = B. Enligt definitionen av supremum så kan vi konstruera en talföljd (x_n) så att x_n ligger i intervallet [a,b] så att f(x_n) konvergerar mot B. Ur denna talföljd kan vi sedan, enligt Bolzanos sats, konstruera en delföljd x_n_n som konvergerar till z, där f(z) = B.

Min fråga gäller varför inte den första delföljden x_n konvergerar till z. Är detta för att vi exempelvis skulle kunna ha två x i [a,b] där funktionen antar f(x) = B, och därför kan vi välja ut en talföljd av x i områden runt båda dessa punkter som därmed ej kommer konvergera till en punkt?

Ja, det är anledningen till att man gör så. Det följer alltså inte att x_n konvergerar bara för att f(x_n) gör det.

Ok, men förstår inte riktigt varför vi inte kan konstruera en konvergent talföljd direkt. Varför är följande inte en sats: Ur en kontinuerlig begränsad funktion, definierad i ett intervall [a,b], så ka vi definiera en konvergent talföljd så att f(x_n) = sup f(x).

Om funktionen är kontinuerlig så borde vi alltid kunna välja ett område runt maxpunkten - eller maxpunkterna - och definiera en talföljd ur dessa?

Det den där satsen säger är det extremvärdessatsen säger nästan. Så fundera på hur du skulle bevisa den där satsen?

Du säger runt maxpunkten, satsen går ut på att bevisa att en sådan existerar, så du kan inte utgå ifrån att den gör det.

Jag hänvisar till extremvärdessatsen! Hehe.

Skall fundera på det, tack.