Bestäm tröghetsmomentet hos en kon m.a.p. x- och y-axeln

Tröghetsmomentet m.a.p. z-axeln kan jag enkelt beräkna. Vi börjar med att bestämma

dm = ρdV = m/(1/3πR²H) πr²dz = 3m/(R²H) r²dz, där dm är masselementet av en cirkulär skiva med radien r och tjockleken dz. Eftersom varje cirkulär skiva har ett tröghetsmoment på z-axlen som ges av dI_z = 1/2 r²dm (känt resultat), så får vi

dI_z = 3/2 m/(R²H) r⁴dz. Vidare har vi sambandet

r/R = z/H => z = H/R r => dz = H/R dr. Detta insatt i uttrycket ovan ger

dI_z = 3/2 m/(R³) r⁴dr. Vi integrerar över 0 < r < R och får

I_z = 3/10 mR².

Frågan är hur jag nu beräknar tröghetsmomenten med avseende på x- och y-axeln. Det finns inga kända tröghetsmoment jag känner till som jag kan ta användning av. Det lutar mot att göra en trippelintegral, men detta vill jag helst undvika. Det enda jag vet som kan hjälpa är att symmetrin mellan x- och y-axeln ger oss

Iₓ = I_y, så det räcker med att beräkna någon av dessa.

Hur gör jag? Även trippelintegraler välkomnas som svar!

Lyckades lösa den utan multipelintegral, nämligen genom att använda steiners sats (parallellaxelsatsen). Vi fortsätter att dela upp konen i masselement i form av cirkulära skivor. Den nedersta skivan har ett känt tröghetsmoment (i vårt fall är det en punkt, men vi kan betrakta det som en cirkulär skiva). Varje cirkulära skiva ovanför denna har ett tröghetsmoment som ges av steiners sats. Sedan är det bara att summera alla dessa bidrag över konens höjd. Konens höjs kan uttryckas medelst konens radie och vi beräknar det totala tröghetsmomentet enkelt.