Linjär avbildning som ges av spegling av linje, hjälp!

Sliter med inlämning på en fredagkväll (deppigt), är tacksam för hjälp!

Har följande uppgift:

Den linjära avbildningen, T : R^2 → R^2 ges som spegling om linjen L som
ges av ekvationen 5x + 2y = 0.
Låt β = {u, n} vara bas för R^2 där u är en riktningsvektor för L och n är en normalvektor för L.

(a) Bestäm standardmatrisen A till avbildningen T.
(b) Bestäm matrisen D till avbildningen T med avseende på basen β.
(c) Bestäm övergångsmatrisen P från standardbasen till basen β.

Lösning:
(a) bestämmer en riktningsvektor för L, ex. v=(-2,5) ,
låter A=(a1, a2) vara en godtycklig punkt, vektorn OA=(a1 a2)

Bestämmer vektorn OP mha projektionsformeln, får OP= (1/29)(4a1 - 10a2 ; -10a1 + 25a2)
AP=OP-OA
OS=OA+2AP=2OP-OA

får nu OS= (-21/29 -20/29 ; -20/29 21/29)(a1 a2)

där sökta matrisen blir A= (-21/29 -20/29 ; -20/29 21/29)


Ser detta rimligt ut?

(b) Har ingen aning om hur jag ens ska börja här! Hur ska jag göra detta map β? Plz help

(a) Ett alternativt sätt att göra detta på är att om du låter A vara matrisen, så måste du ha att A[5 -2; 2 5] = [-5 -2; -2 5]. Detta eftersom (5, 2)^t är normalen till linjen och därmed avbildas på (-5, -2)^t och vektorn (-2, 5)^t ligger på linjen så alltså avbildas den på sig själv. Från detta kan du lösa vad A är genom att högermultiplicera båda leden med inversen till [5 -2; 2 5].

(b) Du ska bestämma var u och n avbildas av T. Eftersom du har att Tu = u och Tn = -n så blir matrisen [1 0; 0 -1].

(c) Gör så att du bestämmer matrisen B som är matrisen som går från basen beta till standardbasen. Sedan har du att B^(-1) = P.

Tack för hjälpen, men får ändå inte riktigt ihop det..
när jag på :

(a) försöker använda den metod du föreslår får jag till att A=[-1 0 ; 0 1] vilket ju är helt annorlunda än mitt svar?

(b) D= [1 0 ; 0 -1]

(c) testar att göra så som du föreslår, ställer upp B[-2 5 ; 5 2]=[1 0 ; 0 1] och löser ut B=[(-2/29) (5/29) ; (5/29) (2/29)] , men sen när jag ska bestämma P=B^-1 får jag att P=B. Stämmer det verkligen? Eller gör jag något fel? För matrisen A ska uppfylla A=PDP^-1

Tacksam för hjälp att reda ut detta!

(a) Ja något fel gör du när du räkna ut det. Om vi låter K = [5 -2; 2 5], då är K^(-1) = 1/29[5 2; -2 5]. (tänk på att det finns en lätt formel för inversen till 2x2 matriser, den är väldigt användbar att kunna utantill).

Då får vi alltså att AK = [-5 -2; -2 5] -> A = [-5 -2; -2 5] * K^(-1) = [-5 -2; -2 5] * 1/29[5 2; -2 5] = 1/29 [-21 -20; -20 21].

(b) Ja, det ser ut att stämma här.

(c) Du ska inte ställa upp den där ekvationen för B, utan det där är helt enkelt P du har beräknat, så ja du är ju egentligen klar bara att du har misstagit dig vilken matris du har beräknat.

Om man skulle beräkna B så som jag sa så gör man på följande vis. Om vi låter u = [-2; 5] och v = [5; 2], där dom är skrivna i standardbasen. I basen {u, v} så representeras dessa som [1; 0] och [0; 1]. Så matrisen B ska alltså skicka [1; 0] till [-2; 5] och den ska skicka [0; 1] till [5; 2]. Detta innebär alltså att B är matrisen [-2 5; 5 2]. P är alltså nu inversen till [-2 5; 5 2].

Tack, nu är jag med!

I denna uppgiften var det en spegling i linjen som gav T(u)=u och T(n)=-n som ger D=[1 0 ; 0 -1]

men om det inte vore en spegling utan en projektion på linjen, går det då att säga något liknande som gäller generellt?

Det blir väl mer eller mindre samma sak. Strategin är att hitta två linjärt oberoende vektorer i planet och avgöra var de mappas av avbildningen. För speglingen blir det ju normalen och riktningsvektorn som blir dom mest lämpliga att avgöra var de avbildas. Det blir ju också fallet för projektionen.

Säg att vi har en projektion T på linjen 5x + 2y = 0, då har vi ju att T[-2; 5] = [-2; 5] och T[5; 2] = [0; 0]. Alltså om man vill ha matrisen A för T så vet man att

A[-2 5; 5 2] = [-2 0; 5 0]

vilket ger att A = 1/29 [4 -10; -10 25]. Så detta blir matrisen för T.

På (b) blir det då att T(u) = u och T(n) = 0, så D = [1 0; 0 0] i basen {u, n}.

Sedan blir det väl igen ungefär samma sak på (c).

Någon som har lust att utveckla hur man hade löst uppgift C om det vore just en projektion?

Samt ytterliggare två frågor!
Beräkna P^(-1)=DP, och förklara varför detta ger matrisen A. (I Speglingsfallet!)

Samt beräkna P^(-1)=DP och använd detta för att beräkna A^(10) (I projektionsfallet!)