Hur räknar man ut om en funktion är injektiv/surjektiv (och således bijektiv)

t.ex.

f(x)= x² +4 här förstår jag att den är injektiv då f(2) och f(-2) får samma svar, men går detta att räkna ut? Hur gör man för att räkna ut attt den är surjektiv?

f(x)= x³ +6

f(x)= x + |x|

f(x)=x^2+4 är inte injektiv. För injektivitet så måste f(a)=f(b) -> a=b gälla, och det gör det inte för dig. Du vet att f(2)=f(-2) -/-> -2=2.

En funktion är surjektiv om värdemängden är samma sak som målmängden. Man säger, lite fancy att:
Funktionen f: X->Y är surjektiv om för det för varje y∈Y finns minst ett x∈X sådan att f(x)=y


x^3+6 är dock injektiv eftersom f(a)=f(b) -> a=b gäller för hela R.
Den är surjektiv eftersom värdemängden är R och målmängden är R.
Den är alltså något man kallar bijektiv.


f(x)=x+|x|

Här kan vi dela upp funktionen i två delar.

Om x>0 så har vi f(x)=x+x=2x
Om x≤0 så har vi f(x)=0.

Sista lämnar jag till dig att visa.

Värt att nämna är att man måste definiera definitionsmängden och målmängden. Annars vet vi ju inte om funktionerna går från R->R eller R->R^+. Det är stor skillnad.

Exempel: f(x)=x^2 med R->R^+.

Denna är surjektiv eftersom värdemängden är hela målmängden.


f(x)=x^2 med R->R är inte surjektiv eftersom värdemängden≠målmängden.

Tänkte flika in att motsägelsebevis antar att antingen stämmer ett påstående eller så är det falskt. Så om man hittar en motsägelse i påståendet drar man slutsatsen att negationen till påståendet stämmer.