Hur ska man förstå GR?

Matematiskt så kan det vara bra att ha en grundläggande förståelse för differentialgeometri och tensoranalys om man vill kunna börja förstå allmän relativitetsteori. Många böcker i allmän relativitetsteori går igenom grunderna i sådan matematik i början. En bra och lättförstådd introduktion i ämnet finns i boken Relativity demystifyed som går igenom det mesta från början (där från början innebär att man helst ska ha läst minst ett års matematik på högskolan).

Man kan ta sig an GR på flera olika sätt, ofta så börjar man med att postulera att en rumtid är en Riemannsk mångfald med en metrik som ges som lösning till Einsteins fältekvationer och sedan går igenom olika lösningar man får utifrån olika antaganden man gör.

Metriker i sin tur ger mått på avstånd mellan händelser i rumtiden, t.ex. tiden mellan två händelser eller avståndet mellan två punkter.

Minkowskimetriken får man t.ex. vid avsaknad av materia och energi som kröker rumtiden och man landar i gammal god SR.

Går man antagandet att universum är homogent och isotropt på stora avstånd så får man en Robertson-Walker metriken som beskriver en rumtid där avståndet mellan punkter ökar eller minskar med tiden med tiden.

Varför skulle man anta det?


Jo, jag vet vad en metrik är. Men hur hänger de olika tensorerna i GR ihop? Hur ska man förstå det?

Precis. Så SR är ett specialfall av GR.


Eftersom Einstein var en förespråkare av Steady State-teorin lade han till en konstant i sina ekvationer för att lösa detta problem, va? Varför ångrade han sig och sa att det var det största misstag han hade begått?

1 RUMTIDEN OCH SVARTA HÅL
I detta inlägg tänkte jag sammanfatta och reda ut begrepp som handlar om hur rumtiden beter sig kring ett svart hål. Tanken är att jag inte ska gå in på allt för komplicerade ekvationer och att man kanske kan förstå lite mera om sambandet mellan krökt rumtid och svarta hål.

I inledningen vill jag också säga det att det finns många olika metriker som beskriver rumtiden. De jag väljer att ta upp här är just de som lades fram i samband med att Einstein pressenterade sin allmänna relativitetsteori.

1.1 FLYKTHASTIGHET
Flykthastigheten är den hastighet du behöver för att lämna en kropp på ett visst avstånd från centrum, förutsatt att man inte tillför mer energi. För Jorden är den ungefär 11km/s vid ytan. Så skulle du sparka iväg en fotboll i 11km/s så skulle den lämna Jorden för att aldrig mer komma tillbaka, om man försummar luftmotståndet. Skulle du krympa Jorden så skulle den hastigheten öka, om du befinner dig vid ytan.
Om du skulle krympa Jordens radie till 9mm så skulle den flykthastigheten vara större än ljusets hastighet och då skulle Jorden per definition vara ett svart hål.

1.2 SCHWARZCHILD RADIE
1915 så pressenterade tysken Karl Schwarzchild en exakt lösning på Einsteins allmänna relativitetsteori. Han dog i WW1 kort efter att han pressenterat metriken. Här följer en förklaring på vad som menas med Schwarzchild radie (Rs).

Rs = Det avstånd från masscentrum där flykthastigheten är lika stort som ljusets. Allt som har massa har ett definierat Rs. Jordens är ungefär 9mm.

Så här beräknar du Rs;

Rs=2Gm/c²
Där
G är gravitationskonstanten ~7x10^-11
c = ljusets hastighet i vakuum 3x10^8 m/s
m = massan

Denna Schwarzchild radie kommer senare att dyka upp i den metrik som beskriver rumtidens krökning.

1.3 RUMTIDEN
Föreställ dig ett universum med två dimensioner. Alla som gått i grundskolan är bekanta med Pythagoras sats där;
Hypotenusan i en triangel i kvadrat är lika stor som summan av kvadraten på kateterna.

Avståndet mellan två punkter i ett tvådimensionellt universum kommer vara

(ΔT)² = (Δx)² + (Δy)²

Rummet består ju faktiskt av tre rumsdimensioner och en tidsdimension. I ett koordinatsystem med tre axlar x,y,z, kan avståndet mellan två punkter beräknas med;

(ΔT)² = (Δx)² + (Δy)² + (Δz)²

Där T är avståndet mellan två punkter i det tredimensionella rummet.
Oavsett om Δx är litet eller stort så kommer separationen mellan två punkter alltid vara den samma. De är invarianta.

Nu är det så att metriken måste innehålla en tidsterm. När man introducerar en tidsterm så kommer två punkter i detta system vara två händelser i rumtiden.

(ΔT)² = (Δx)² + (Δy)² + (Δz)² - c²(Δt)²

Anledningen till att man multiplicerar tidstermen med c är för att man skall kunna konvertera från tid till rum. Uttrycker man ljusets hastighet i km/s, tiden i sekunder så måste rummet beskrivas i km.

Värdet på detta (ΔT)² kan då antingen vara negativt, positivt eller 0.

> Om värdet är 0 kommer avståndet mellan händelserna i rummet motsvara exakt tiden mellan dessa. Ex: Två objekt som befinner sig ett ljusår ifrån varandra med exakt ett års mellanrum.
> Om tidstermen är större än rumstermen kallas intervallet ”Tidslikt”.
> Om istället rumstermen är större än tidstermen kallas intervallet ”Rumslikt”.

Här kommer en viktig poäng:
Man kan bara förflytta sig och kommunicera om intervallet är tidslikt, dvs om tidsseparationen är större än rumsseparationen. Detta kommer att spela en stor roll när man inför en situation där rumtiden är extremt krökt. Jag kommer till det senare.

Enligt den speciella relativitetsteorin så kan ingen förflyttning i rummet ske snabbare än ljusets hastighet. När man nu ska förflytta sig i rumtiden eller representativt roterar hela koordinatsystemet kan tidstermen variera pga tidsdilationen, avstånden i rummet kan variera med hastigheten. Men det spelar ingen roll eftersom de både olika termerna kommer att vara invarianta.

1.4 RUMTIDENS KRÖKNING
Föreställ dig nu att den platta rumtiden kröks utav ett objekt med en massa. Det är så klart svårt att föreställa sig visuellt, men många gillar den där en massa ligger på en väv som pressas nedåt. Den liknelsen består av två rumsdimensioner, inget annat.

Schwarzchild metriken beskriver en krökt rumtid.

(ΔT)²=(Δr)²/(1-Rs/r) + r²(ΔΩ)² - c²(1-Rs/r)(Δt)²
I stället för tre vanliga xyz koordinater så är denna beskriven med polära koordinater.
r = Avståndet till masscentrum för objektet som kröker rumtiden.
t = Tiden mellan två händelser mätt av en observatör i oändligheten, eg. någon som befinner sig oändligt långt från det krökta rummet.
Rs = Schwarzchildradien för objektet.

Skillnaden från den platta rumtiden är denna;

(Δr)²/(1-Rs/r)

RUMSTERMEN: Här ser man på förhållandet mellan positionen r och Rs. Alltså hur långt ifrån Schwartzchild radien du befinner dig.

r²(ΔΩ)²

RUMSTERM(POLÄR): Denna term är de polära vinklarna i rummet. Denna tillkommer om man översätter koordinatsystemet till polära. Denna term kan vi ignorera nu.

- c²(1-Rs/r)(Δt)²

TIDSTERMEN: Samma sak här, man multiplicerar tidstermen med samma sak som man dividerar med i rumstermen. 1-Rs/r.

Föreställ dig nu ett objekt med massan m och masscentrum i mitten av koordinatsystemet.
Vad händer med rumtiden om;

1) Massan går mot noll?
2) r går mot oändligheten?

I dessa båda fall kommer rumtiden bli platt. DVS ingen krökning.
I det första fallet, där massan går mot noll så kommer Rs gå mot noll och vidare 1-0=1. Detta kommer att betyda att rummet är platt. Samma sak gäller tidstermen.
I det andra fallet när r går mot oändligheten så kommer Rs/r gå mot 0 och samma situation uppstår.

Vilken är då den relevanta massan som man använder i metriken. Jo det är den massa som finns innanför din position. Jag kan ta en situation som inte är speciellt relativistisk, nämligen Jorden. Jordens massa är 6x10^24 och Rs=0.01m. När du står på jordytan så befinner du dig ungefär 6000000m ovanför masscentrum. Rs/r i det här fallet blir så 0.01/6x10^6=2x10^-9. Nu kommer ju tanken, att om man gräver sig nedåt så kommer man närmare Rs och då blir det en allt mer relativistisk situation. Detta är så klart falskt eftersom om du befinner närmare centrum så är det lite lika mycket massa innanför dig och Schwarzchild radien ”krymper bort” från dig.

1.4 RUMTIDEN KRÖKT AV ETT SVART HÅL
För det första så kommer metriken jag tagit upp enbart vara en beskrivning för ett objekt som;

> Har massan m
> Saknar laddning
> Saknar rotation (Eller i princip försumbar)
> Har sfärisk form

I ett svart hål så kommer all massa vara innanför Rs och då kan du teoretiskt sett befinna dig exakt på Rs. Ett svart håls Schwarzchild radie kallas i folkmun för händelsehorisont.

Ett svart hål har två singulariteter, en fysisk där man matematiskt räknar att all massa landar när en stjärna kollapsar. Det är en punkt i centrum dvs r=0. Den andra singulariteten är en matematisk singularitet som befinner sig där r=Rs, dvs händelsehorisonten.

Vad händer om du nu närmar dig det svarta hålet? Jo r blir mindre och mindre, Rs/r närmar sig då 1 vilket i sin tur gör att 1-Rs/r blir mindre och mindre.
Då återkopplar vi till metriken.

(ΔT)²=(Δr)²/(1-Rs/r) + r²(ΔΩ)² - c²(1-Rs/r)(Δt)²

Rumstermen blir större och större, tidstermen närmar sig 0 och det blir succesivt svårare att förflytta sig och kommunicera. Man blir gradvis bortkopplad från omvärlden.
Tänk dig vad som händer med metriken när du befinner dig vid r = Rs.

Men, vad skulle hända med metriken om du befann dig innanför Rs?
Ja då skulle den negativa tidstermen här bli positiv. Så alla rörelser inåt där r < Rs kommer att göra att tiden går baklänges. Man brukar säga att rummet och tiden är omvända. Rumstermen blir en tidsterm och vise versa.

Varför skulle man anta det?

Men hur hänger de olika tensorerna i GR ihop? Hur ska man förstå det?

Eftersom Einstein var en förespråkare av Steady State-teorin lade han till en konstant i sina ekvationer för att lösa detta problem, va? Varför ångrade han sig och sa att det var det största misstag han hade begått?

Varför skulle man anta det?

Jag kan ge ett aningen annorlunda svar på den frågan. Att beskriva gravitation med en krökt rumtid (med en krökt mångfald) är en hyfsat naturlig följd av ekvivalensprincipen. Ett sätt att säga vad principen är, är att säga att allting påverkas likadant av gravitation, dvs allting faller lika snabbt. Detta gör det naturligt att modellera gravitationen med rumtiden själv, eftersom allting rör sig genom rumtiden, så om den är krökt förklarar det fint varför allt faller lika snabbt. Detta är ju väldigt annorlunda från t.ex. elektromagnetism, som ju bara påverkar saker med elektrisk laddning, och därför inte kan beskrivas genom att ha någon krökt rumtid.


Mer som allmänt svar kan du läsa dessa anteckningarna: http://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019 , och kanske titta på dessa föreläsningarna http://pirsa.org/C14033 .

Tack för länkarna! Carrolls text är utomordentlig.

Vill också flika in angående elektromagnetismen, att man tidigt (se Kaluza-Klein) försökte få med EM-kraften genom att införa en fjärde rumsdimension som då antogs kompaktifierad (hoprullad). Dessa teorier var ett förstadium till senare strängteorier, kan man väl säga. Einstein var åtminstone initialt intresserad av idéerna kring en femdimensionell rumtid.

Riemannskt rum (eller mångfald) är ett begrepp inom differentialgeometrin som lämpar sig alldeles utmärkt för att beskriva t.ex. allmänrelativistisk rumtid. (Mer korrekt talar man inom GR om pseudo-Riemannsk mångfald, eftersom den metriska tensorn då inte måste vara positivt-definit.)

GR's ekvationer beskriver sambandet mellan rumtiden och energi-mass-fördelningen (alltså hur rumtiden påverkas, kröks, av massor). Det handlar om 4*4-tensorer, som, eftersom alla matriser är symmetriska, ger upphov till tio olika ekvationer. Dessa är kopplade, partiella diffekvationer och mycket svårhanterliga om man inte gör förenklande antaganden om energi-mass-fördelning som aome påpekade. Det tog väl ett år efter Einsteins publicering innan man hade den första enkla (icke-triviala) lösningen med en centralmassa och i övrigt vakuum. Den kallas Schwartschild-metrik.

Einsteins ånger beror på att man senare gjorde observationer som visar att universum expanderar, varför Einsteins trixande alltså var förhastat och helt onödigt.

Ett gammalt inlägg om Sxhwarzchildmetriken.

Det är väl mest som med postulat inom fysiken i allmänhet, man försöker isolera de mest grundläggande antaganden som leder till en matematisk teori som matchar observationer och gör förutsägelser som håller. GR har relativt ( ) få postulat jämfört med till exempel grundläggande kvantmekanik som behöver ett halvt dussin postulat för att lyfta.

Själva fältekvationerna kan fås genom att använda variationsanalys på Einstein-Hilbert-verkan om man har en ledig stund över.

I korthet så kan man skriva fältekvationerna som G_ab=8*pi*T_ab, där T_ab är stress-energitensorn som innehåller allt som relaterar till energi, materia, tryck etc. Sen är G_ab Einsteintensorn som är en funktion av Riccitensorn och Ricciskalären som båda fås som kontraktioner av Riemanntensorn, som i sin tur uttrycks m.h.a. de så kallade Christoffelsymbolerna som är summor av partialderivator av metrikens element. Inte särskilt intuitivt kan tyckas, men det viktiga är att se att vänsterledet beskriver krökningen av rumtiden i form av partialderivator av metrikens element och fältekvationerna i helhet uttrycker sambandet mellan energi- och materiafördelningen och rumtidens krökning.

Det visade sig att ekvationerna G_ab=8*pi*T_ab inte kunde tillåta vårt universum att vara statiskt utan att det måste antingen befinna sig i en expanderande eller kontraherande tillstånd. För att kompensera för detta lade Einstein till den så kallade kosmologiska konstanten Lambda och uttrycket blev G_ab+Lambda*g_ab=8*pi*T_ab. Konstanten skulle vara mycket liten och bara ge effekt över stora tidsskalor. När Hubble visade att universum inte alls var statiskt så uttryckte Einstein ånger över att ha introducerat en till synes onödig konstant. Det har dock senare visat sig att detta tillägg kan lösa en del problem man har sedan att man sett att universum inte bara expanderar, utan också accelererar sin expansion tack vare det man just nu kallar mörk energi.

Jag kan ge ett aningen annorlunda svar på den frågan. Att beskriva gravitation med en krökt rumtid (med en krökt mångfald) är en hyfsat naturlig följd av ekvivalensprincipen. Ett sätt att säga vad principen är, är att säga att allting påverkas likadant av gravitation, dvs allting faller lika snabbt. Detta gör det naturligt att modellera gravitationen med rumtiden själv, eftersom allting rör sig genom rumtiden, så om den är krökt förklarar det fint varför allt faller lika snabbt. Detta är ju väldigt annorlunda från t.ex. elektromagnetism, som ju bara påverkar saker med elektrisk laddning, och därför inte kan beskrivas genom att ha någon krökt rumtid.


Mer som allmänt svar kan du läsa dessa anteckningarna: http://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019 , och kanske titta på dessa föreläsningarna http://pirsa.org/C14033 .

Ah, tack för en mer ingående förklaring. Jag förstår inte riktigt dock hur en krökt rumtid skulle vara det intuitiva svaret till varför allt "faller" lika snabbt. Det enda jag skulle kunna tänka mig som kan hinta det är det faktum att alla fiktiva krafter är direkt proportionella mot inertialmassan. Alltså, gravitation borde därmed också vara en fiktiv kraft.
Du drar även upp elektromagnetism. Varför kan man inte beskriva den elektromagnetiska kraften som en rumtid där rummet enbart kröks av laddningar? Kraften där är dock inte direkt proportionell mot inertialmassan, men dock mot laddningen.