Matteuppgift "Biosalongen"

De flesta biosalonger i dag har så kallad gradäng. Det betyder att de bakre stolsraderna är upphöjda i jämförelse med de främre. I en viss biosalong är gradängvinkeln 22 grader. Salongen har 8 meter hög bioduk som är placerad två meter från golvet och tre meter från den första stolraden.

På vilken stolsrad ska du sätta dig så att du ser så bra som möjligt, dvs. för vilket värde på x maximeras synvinkeln α i figuren? (vi räknar med att dina ögon befinner sig ca 1 meter från golvet när du sitter ner.)

Den här var ju ganska klurig.

Såvitt jag kan se är det bara att börja med att hitta uttryck för den horisontella och vertikala koordinaten för ögats placering uttryckt med hjälp av de kända längderna och vinkeln 22 grader för att sedan dela upp α i två delar α1 och α2 som man kan ställa upp uttryck för med hjälp av ögats koordinater.

Med origo i nedre vänstra hörnet så är ögats koordinat i vertikal led x*sin(22) + 1, och i horisontell led 3 + x*cos(22). Drar du en horisontell linje parallell med marken från den vänstra väggen till ögats position så delas α i två delar. Kallar man den övre delen för α1 och den nedre för α2 och konstaterar att den totala längden från golvet till dukens övre gräns är 8+3 = 11, samt att avståndet från dukens övre gräns ned till den horisontella linjen som går till ögats position blir 11-(x*sin(22) + 1) = 10 - x*sin(22) och att således avståndet från dukens nedre gräns till samma horisontella linje blir 8-(10 - x*sin(22)) = x*sin(22) - 2, så kan man ställa upp ekvationer för α1 och α2:

tan(α1) = [10 - x*sin(22)]/[3 + x*cos(22)]
tan(α2) = [x*sin(22) - 2]/[3 + x*cos(22)]

Eftersom α = α1 + α2 får man alltså

α = arctan([10 - x*sin(22)]/[3 + x*cos(22)]) + arctan([x*sin(22) - 2]/[3 + x*cos(22)])

Härifrån kan man derivera för hand (om man verkigen behöver), eller så använder man WolframAlpha för att se att derivatan blir en kvot av andragradspolynom i x med till synes besvärliga koefficienter. Man kan dock konstatera att [cos(22)]² + [sin(22)]² = 1 pga trigonometriska ettan, så ekvationen för derivatans nollställen blir därför (man måste ju få täljaren = 0):

x²cos(22) + 6x - 11cos(22) - 36sin(22) = 0 ⇔ [WolframAlpha igen] ⇔ x = {√[36cos(22)sin(22) + 11cos²(22) + 9] - 3}/cos(22) ≈ 2,7656, vilket ser rimligt ut i förhållande till bilden.

För detta värde på x får man alltså

α = arctan([10 - 2,7656*sin(22)]/[3 + 2,7656*cos(22)]) + arctan([2,7656*sin(22) - 2]/[3 + 2,7656*cos(22)]) ≈ 48,3 grader, vilket också verkar vara ett hyfsat rimligt resultat i förhållande till bilden.

Man kan räkna det även med geometri, utan att derivera.

I texten står:
"Salongen har 8 meter hög bioduk som är placerad två meter från golvet och tre meter från den första stolraden."
I bilden är det 3 m från golvet.
nihilverum har räknat med 3 meter.
Om man använder 2 m, får man 1,5173 m och 56,812 grader.

Ställ upp funktionen a=f(L,H) där L och H är koordinaterna dvs längd från bioduken och höjd från golvet.

Ställ upp L=l(x) och H=h(x)

Sedan sätter man in respektive funktion a=f(l(x, h(x))

Derivera f(x)

Lättare sagt än gjort.