Hur skriver man matematiska bevis?

Lyckas inte hitta några enkla exempel på matematiska bevis.
Såg en dokumentär där kids tävlade i matematik, då verkade som deras bevis var öppna för diskussion, när deras lärare tjaffsade med betygsättarna. Jag som trodde matematik ej var öppet för tolkning.

Vad är grunderna för matematiska bevis?
Kan någon visa någe simpelt som en vanlig tjomme begriper?

Hmm, det är nog svårt att ge en övergripande, genomlysande och begriplig förklaring, men gör ett försök som mer än gärna får kompletteras av andra.

När man bygger upp matematiken har man två beståndsdelar: begrepp och påståenden.
Begreppen i sin tur kan delas in i två olika grupper, objekt och relationer.
En punkt är ett objekt och en linje är ett objekt.
Att en punkt ligger på (=tillhör) en linje är en relation.
Begrepp definieras med hjälp av redan kända begrepp men någonstans måste man utgå ifrån vissa grundbegrepp som antas vara kända och inte definieras. Dessa kallas primitiva begrepp. Två av dessa är punkter och linjer.

Påståenden är antingen sanna, falska eller omöjliga att avgöra sanningshalten på. Ett påstående man visat är sant kallas för sats (engelska: theorem) och resonemanget som visar att det är sant kallas för bevis.

Ett bevis måste bygga på något man redan vet är sant men även här måste man ha något att stå på för att kunna bygga vidare. Det finns påståenden som antas vara sanna utan bevis för dem. Dessa grundläggande påståenden kallas axiom och vilka de är varierar beroende på vilken del av matematiken man pratar om. Man talar om olika axiomsystem.

Ett bevis är alltså en argumentation för att det som påstås är sant. Man skall kunna övertyga andra, särskilt andra matematiker, om att det man påstår är sant. Detta kan göras med ord, symboler och resonemang. Vissa bevis använder symboler som gör dem obegripliga för den som inte är insatt i vad symbolerna betyder, men det är inte nödvändigt att använda symboler i ett bevis. I Euklides Elementa är bevisen skrivna med ord.

För att ett bevis skall vara fullständigt så krävs att det finns en obruten kedja av påståenden som någonstans bottnar i axiomen. Man kan åberopa tidigare bevisade satser, som i sin tur åberopar visade satser när man bevisar något. Man behöver alltså inte själv konstruera hela kedjan ner till axiomen varje gång man vill bevisa något, men man behöver försäkra sig om att de satser man stöder sig på är sanna.

Ibland är det oklart om man har täckt in alla möjligheter, dvs om man helt har bevisat sitt påstående eller ej. Det kan finnas fall som inte täcks av det resonemang man för och därför är det inte ett bevis, även om det är sant för de fall man pratat om. Här kan man argumentera för om beviset är tillräckligt eller ej och om man för att göra det fullständigt behöver visa mer eller om man behöver ändra påståendet lite så att det man sagt i sitt bevisförsök garanterat stämmer.

Man kan dela in bevis i tre huvudgrupper. Dessa kan ses som idealiserade bilder av vad bevisets idé är. De flesta bevis innehåller någonstans en kombination av dessa tre.

Konstruktionsbevis är bevis som bygger på att man skapar något, och eftersom man skapat det enligt de regler som finns (baserat på kända begrepp, relationer och med resonemang från bevisade satser) så finns det man har skapat. Denna sorts bevis är vanlig inom geometri. Kan du rita en figur enligt givna regler så existerar figuren.

Motsägelsebevis bygger på att man antar att det man vill visa är falskt och visar att man då får en motsägelse mot en sats man vet är sann. därför kan inte påståendet man antog vara falskt vara det och måste därför vara sant.

Som exempel kan ges ett bevis för att det finns oändligt många primtal:
Antag att det finns ett ändligt antal primtal, säg n stycken. Kalla dem P1, P2,..., Pn
Bildar vi då ett nytt tal som
A=P1*P2*...*Pn+1
så är A är inte ett av de ursprungliga primtalen så A måste gå att dela upp i primtalsfaktorer enligt aritmetikens fundamentalsats, men A är inte delbart med något av de existerande primtalen P1, P2,...,Pn eftersom vi får 1 som rest om vi genomför divisionen:
(P1*P2*...*Pn+1)/(P1*P2*...*Pn)
Därför leder vårt antagande att det finns ett ändligt antal primtal till att aritmetikens fundamentalsats inte skulle gälla, men vi vet på förhand (för att den tidigare bevisats av andra) att den är sann. därför måste vårt påstående vara falskt, det finns inte ett ändligt antal primtal, de kan alltså inte ta slut och måste därför vara oändligt många.

Induktionsbevis bygger på att man vet att något gäller för ett fall. Sen antar man att det gäller för ett mer generellt fall och visar att om det gäller för det så gäller det även för nästa fall. Då följer att det måste gälla för alla fall som kommer efter det man kände till från början. Det fungerar som dominobrickor där man först visar att man kan få en bricka att falla, och att om en bricka faller så kommer även nästa att falla. Då kommer alla brickor efter den första att falla.

Matematik är inte öppet för tolkning.

Anledningen till att bevis ofta lämnar utrymme för tolkning brukar vara hur mycket man tillåts förutsätta, och hur mycket som ska ingå i själva beviset. Antag att du skall bevisa Pythagoras sats i tre dimensioner, får du förutsätta att den gäller i två dimensioner eller ska även det bevisas för att beviset ska anses fullständigt?

Antag att du i ett bevis vill utnyttja det faktum att vinkelsumman i en triangel är konstant, oavsett vinklarna. Är då beviset giltigt för att du utnyttjar detta faktum, eller anser läraren att du även skall bevisa att vinkelsumman i en triangel är konstan innan beviset anses fullständigt?

En annan anledning till tolkningsutrymme kan var hur heltäckande beviset är, till exempel om det ska gälla alla tal eller bara reella tal etc.

Om ett matematiskt bevis är korrekt genomfört så är det inte öppet för tolkning. Det som ofta är öppet för tolkning, även vad gäller publikationer från matematiker, är just om allt är korrekt genomfört eller inte.

Här kommer ett simpelt och fint bevis som jag nyligt sett. Om vi har två irrationella tal, a och b, kan man någonsin få ett rationellt tal om man utför operationen a^b?

Jo: Säg att a=b=√2, då är a^b antingen irrationellt eller rationellt.

Är det rationellt så har vi besvarat frågan.

Är a^b = c irrationellt så har vi att c^√2 = (√2^√2)^√2 = √2^(√2*√2) = √2^2 = 2.

I dokumentärerna om internationella matematiktävlingen (en engelsk och en amerikansk dokumentär) handlar diskussionerna om ofullständiga lösningar och komplexa lösningsförslag till givna problem i tävlingen - det handlar alltså om hur många poäng en (ofullständig) lösning är värd. Och i en stressad situation (tävling) är lösningarna inte alltid tydliga och lätta att följa och därmed uppstår tolkning.

Intressant tackar för infon. Det är klart det blir kanske lite drygt/onödigt att skriva ut det som anses simpelt när en som sysslar med matematik på en högre nivå ska uttrycka sig för andra matematiker. Då använder man redan färdiga bevis och snurrar vidare på.
Men hur ser de första bevisen ut på lägsta nivån?
Då utgår man ifrån grundsatserna, hur ser dessa ut?

Simpla exempel på, Konstruktionsbevis, Motsägelsebevis och Induktionsbevis efterfrågas härmed också. Exempel med primtal med oändlighet eller termer som irrationella/rationella är lite utöver en vanlig tjomme behärskar (ser mig själv som en sådan).

Punkter och linjer var också intressant. var kan jag se dessa 'primitiva begrepp' över vad som är en punkt/streck?

Primitiva begrepp kan du läsa lite mer om här. Är inte säker på hur klart det blir om du är novis inom matematiken och det dessutom är på engelska, men kanske klarnar något. http://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_notion
Vilka begrepp som är att anse som primitiva beror på vilket axiomsystem som har valts.
Det som gör att begreppen kallas primitiva är att man inte definierar dem. Dvs, man talar inte om vad de är med hjälp av andra begrepp. Det kan verka jättekonstigt, men någonstans måste man ju börja för att från det kunna gå vidare och definiera fler saker.

Om du vill börja nånstans är Euklides geometri ganska bra, även om det är gammaldags, torrt och mossigt. Där utgår man från ett antal axiom (påståenden som kan anses sanna utan att det behöver bevisas) och bygger sedan vidare på dem för att bevisa mer avancerade satser och samband. Det kanske inte är en typ av matte man har jättemycket nytta av, men man får förståelse för hur man ska tänka när man konstruerar bevis. Finns flera olika kompendier att ladda ner på nätet.

Konstruktionsbevis
Sats: Det finns ett heltal som löser x / 2 = x.
Konstruktion: Låt x = 0. 0/2 = 0. QED.

Tanken med dessa bevis är alltså att man på något vis gör en konstruktion som visar eller motbevisar satsen. Konstruktionen är antingen explicit som jag gjorde här, eller implicit, t.ex. att man visar att det går att göra en konstruktion; ungefär som det första jag nämnde med irrationellt^irrationellt, vi såg aldrig vilken konstruktion som bevisade satsen, bara att någon av 2 av 2 möjliga konstruktioner gjorde det.

Motsägelsebevis
Sats: Det finns ett heltal som löser x ^ 2 < x.
Motbevis:
Antag att y är det talet, då har vi att y*y < y.

Dividerar vi båda sidor med y, när y > 0, får vi y < 1. Det finns inget heltal som uppfyller 0 < y < 1; motsägelse.

Dividerar vi båda sidor med y då y < 0 får vi y > 1; motsägelse.

Om y = 0 får vi 0*0 = 0 < 0; motsägelse. Alla heltal ger alltså motsägelse.

Induktionsbevis
Sats: För alla naturliga N finns det ett naturligt x > N.
Induktion:
Det gäller för N=0 med x=1 exempelvis. Antag att det gäller för N=n och något x och visa att det i såna fall gäller för N=n+1 och något x.

Vi har att x > N = n enligt det så kallade induktionsantagandet. Addera 1 på båda sidor, x+1 > n+1. Vi har därmed visat att om det gäller för N=n så gäller det för N=n+1; QED.

Här är idén alltså att vi visar det för ett grundfall sen visar vi att om det gäller för ett fall så gäller det för nästa fall. Sen gäller det för alla n enligt induktionsaxiomet, och det är väl ganska enkelt att förstå intuitivt också. Det gäller för N=0, och i såna fall gäller det för N=1, och i såna fall gäller det för N=2, osv.

Lite brantare inlärningskurva än jag räknat med.
Går det ta ner till lite mer korkad nivå?

Hur bevisar vi att:
1+1=2 stämmer
eller att:
1+4=3 är falskt

Eller jag tänker bas 10 nu kanske, riktig matte är kanske oberoende av det?

Det du kallar "Sats" är dock ingen sats eftersom den inte är sann.
En sats hade dock kunnat vara "Det finns inget heltal som löser x^2 < x."
Beviset blir sedan "Antag att det finns ett sådant heltal y. Då gäller /.../"