Ortogonal projektion på plan

Hej!

Har en uppgift på halsen som jag gissar egentligen är ganska enkel, men jag förstår inte hur jag ska få till den:

"Låt A vara en 3x3-matris som svarar mot den ortogonala projektionen på planet 2x+y+7z=0
Bestäm alla (verkliga) egenvärden till A"

Den enda formeln jag känner till för att få redan på projektionen på ett plan är T(x) = x - (x*n)/(n*n)*n där x är en vektor, men jag förstår inte hur jag ska få reda på matrisen utan att känna till en vektor?

Någon som kan mer än jag?

Om planet som projektionen ska äga rum på är 2x+y+7z=0 så vet man(jag kommer inte ihåg varför men) att en normal till planet fås genom koefficienterna framför variablerna alltså n=(2,1,7).

Nu så kan du utnyttja formeln som du sa att T(x)=x-(n,x)/(n,n)*n genom att se vad som händer med en godtycklig vektor x=(a,b,c).

Det du får ut är då att:

T(a,b,c)= (f*a+g*b+h*c,j*a+k*b+l*c,u*a+i*b+o*c) Där f,g,h,j,k,l,u,i,o är just de tre raderna i avbildningsmatrisen.

Alltså:
T(x)=
(f g h) * (a)
(j k l ) * (b)
(u i o) * (c)


Hoppas du förstår mitt försök till matris ovan

Tack så mycket för svaret, kan man alltså välja vilken godtycklig vektor som helst? Blir matrisen alltid den samma oavsett vilken vektor man väljer?

Har kommit fram till följande:

T(a,b,c) = (a,b,c) - ((2a+b+7c)/(4+1+49))*(2,1,7)
= a - (4a+2b+14c)/54, b - (2a+b+7c)/54, c - (14a+7b+49c)/54
= (25/27)a + (1/27)b + (7/27)c , (1/27)a + (53/54)b + (7/54)c , (7/27)a - (7/54)b + (5/54)c

Matrisen skulle i så fall bli:

25/27 1/27 7/27
1/27 53/54 7/54
7/27 -7/54 5/54

Och sedan skall jag ta fram egenvärden till detta... känns som lite väl jobbiga tal eller?

Japp bryt ut a,b,c eftersom detta bara är en godtycklig vektor och det som du får kvar sedan är just den matrisen som beskriver hur varje vektor avbildas vid projektionen.

Ja den ser lite jobbig ut men du kan bryta ut lite ur den typ 27 kanske eller rent av 54.

Hm, det verkar inte stämma, egenvärdena blir helt galna... (långa och komplicerade uttryck), kan jag ha räknat fel någon stans?

hm ja, jag testade att sätta in just den matrisen du skrev i en online kalkylator och det var inte så trevliga svar;

λ1 = 1
λ2 = (631^0.5+27)/54
λ3 = (-(631^0.5)+27)/54

Men jag tror inte att du har räknat fel på det som du skrev har dock inte kontrollräknat men det ser bra ut så jag vet faktiskt inte .

Nej, dessvärre verkar talen felaktiga :/

Någon annan som vet hur man kan ta sig vidare?

Börja med att bestämma en bas för planet (behöver inte vara ortogonal), t.ex. har man att y = -2x - 7z ⇒
[x, y, z] = [x, -2x-7z, z] = x[1, -2, 0] + z[0, -7, 1]
Planet spänns då upp av de linjärt oberoende vektorerna:
v₁ = [1, -2, 0]
v₂ = [0, -7, 1]
Låt matrisen A ha v₁ och v₂ som kolumner, då kan man visa att projektionsmatrisen P är
P = A(A'A)⁻¹A'
där ' anger transponering (se t.ex. här http://www.math.lsa.umich.edu/~speyer/417/OrthoProj.pdf)
Sätter man in värdena så får man att:

(Nästan rätt tidigare!) P är symmetrisk och har därför reella egenvärden. Den karakteristiska ekvationen är:
|P - λI| = -λ³ + 2λ² - λ = -λ(λ - 1)(λ - 1)
dvs. egenvärdena är 0 och 1 (med multiplicitet 2)