Hjälp med ett simpelt tal

Hej,

Skulle behöva lite vägledning på följande tal.

Vilken rest erhhålls då 2^204 delas med 11?

Började med att räkna 2^4 modulo 11 = 5

204 = 4 x 51 + (rest) 0

2^204 = (2^4)^51

Ja, jag kommer inte riktigt vidare...

Tack på förhand!

2^204 = 2^(18*11)*2^6

Vilket är kongruent med 2^18*2^6 = 2^24 = 2^(2*11)*2^2 (mod 11)
Vilket är kongruent med 2^2*2^2 = 2^4 = 16 (mod 11)
Vilket är kongruent med 5 (mod 11)

Resten är alltså 5.

Detta är en alternativ lösningsgång:

2¹ ≡ 2 (mod 11)
2² ≡ 4 (mod 11)
2³ ≡ 8 (mod 11)
2⁴ ≡ 16 ≡ 5 (mod 11)
2⁵ ≡ 32 ≡ 10 ≡ -1 (mod 11)

2²⁰⁴ = (2⁵)⁴⁰∙2⁴

Eftersom 2⁵ ≡ -1 (mod 11) blir 2²⁰⁴ ≡ (-1)⁴⁰∙2⁴ ≡ 1∙2⁴ ≡ 16 ≡ 5 (mod 11).

Använd Fermats lilla sats för att angripa problem som detta.

Om p är ett primtal och MGN(p,a) = 1 så gäller det att

[;a^{p-1}\equiv 1(\!\!\!\mod p);]

Tillämpat i det aktuella fallet ger detta

[;2^{204}=2^{10\cdot 20}\cdot 2^4=(2^{10})^{20}\cdot 16\equiv 1\cdot 5=5(\!\!\! \mod 11);]