Tolkning av sats i komplex analys

I en av mina matematikböcker i komplex analys återfinns följande sats (översatt från engelska):

"Låt f vara kontinuerlig på den öppna mängden U, och anta att f har en primitiv funktion g, sådan att g är holomorfisk och g'=f. Låt α och β vara två punkter i U och låt γ vara en väg i U som förenar α och β. Då gäller

∫f(z)dz=g(β)-g(α).

Speciellt gäller att integralen beror endast av start och slutpunkt. Den är oberoende av vägen."

Det som bekymrar mig är inte så mycket själva beviset utan varför förutsättningarna i satsen är som de är. Varför ska f vara kontinuerlig? Varför ska U vara en öppen mängd?

Läste om något liknande förut men vet inte. Skriver ändå. Antagligen öppen mängd för att kontinuitet definieras via öppna mängder, och kanske att den är kontinuerlig för http://en.m.wikipedia.org/wiki/Banach_fixed_point_theorem eller något liknande.

Har en liknande sats i min bok, men den säger även att f är analytisk i området U om detta är enkelt sammanhängande.

Beviset går ut på deformations av integrationsvägar (Greens formler) samtCauchy-Riemanns satser (tidigare bevis som du kanske läst innan?)

Vad läser du förresten?

För att beviset ska gå krävs just dessa antaganden. Läs igenom beviset ordentligt och öva genom att hitta var i beviset antagandena används.

Funktionen f ska vara kontinuerlig för att garantera att g är deriverbar. Och öppen definitionsmängd är till för att slippa randpunkter. Tror jag, men det var länge sedan jag läste kursen analytiska funktioner.

Den garantin står "anta att f har en primitiv funktion g, sådan att g är holomorfisk och g'=f" för.

f ska vara kontinuerlig för att det ska vara möjligt att ha en holomorfisk primitiv funktion g. Man kan visa att en holomorfisk funktion kan deriveras hur många gånger som helst och då måste f också vara deriverbar och därför också kontinuerlig. Vi skulle kunna ta bort antagandet att f ska vara kontinuerlig, men för dessa f så blir satsen betydelselös då du inte kan hitta något holomorfiskt g för dessa f.

Mängden U ska vara öppen för för att begreppet holomorfisk är i termer av öppna mängder. Varför det "måste" vara så kanske ska ses som en följd från att vara deriverbar vid en punkt z på ett "bra sätt" så krävs det att f ska uppföra sig "vettigt" i ett litet öppet område kring z (man ska kunna närma sig punkten från vilket håll som helst typ).

Att f är kontinuerlig följer som sagt av att f har en holomorf primitiv funktion. Därför skulle vi i praktiken kunna skippa villkoret. Att ha med det gör varken till eller från.

Dock kommer säkerligen beviset av "en holomorfisk funktion kan deriveras hur många gånger som helst" säkerligen senare i kursen, och troligen används den sats vi just nu kollar på direkt eller indirekt i dess bevis, så att hänvisa till den senare satsen ger ett cirkelresonemang.

Villkoret att f ska vara kontinuerlig finns antagligen med för att det utnyttjas i beviset.

Jag säger inte att beviset inte använder kontinuitet. Jag menar att det inte är något litet tekniskt villkor som bara gör att beviset blir enklare. Jag menar att satsen bara är intressant för kontinuerliga f. I min motivation för varför satsen bara är intressant för kontinuerliga f använder jag en kanske mer avancerad sats ja, men det ser jag inte som något större problem.

Om funktionen f är definierad på den öppna mängden U, innebär det att g också är definierad på den öppna mängden U?

Ja. Du säger att g är en primitiv funktion till f, om du inte säger att det bara är så på vissa delar av definitionsmängden till f så är den enda rimliga tolkningen att det är överallt där f är definierad: speciellt i ditt fall U (och för att vara en primitiv funktion måste man vara definierad ).

Ändring: Fast en kontinuerlig funktion kan ha en primitiv funktion på vissa delar av U men inte på andra delar av U.

Men om f inte är kontinuerlig på en öppen mängd så behöver inte de primitiva funktionerna ens vara deriverbara. På sätt och vis är formuleringen kanske mer didaktisk än strikt formaliserad. Helt klart ska det användas i beviset att f är kontinuerlig.