Tolkning av sats i komplex analys

Men om f inte är kontinuerlig på en öppen mängd så behöver inte de primitiva funktionerna ens vara deriverbara. På sätt och vis är formuleringen kanske mer didaktisk än strikt formaliserad. Helt klart ska det användas i beviset att f är kontinuerlig.

Jag säger inte att beviset inte använder kontinuitet.

Jag menar att satsen bara är intressant för kontinuerliga f.

Men om f inte är kontinuerlig på en öppen mängd så behöver inte de primitiva funktionerna ens vara deriverbara.

Det är inte helt klart vad du menar här. Derivatan av en primitiv funktion finns väll alltid per definition?

Jo, men derivatan behöver inte vara definierad i varje punkt. Ett enkelt exempel: f är 0 för |z|<1 och f(z)=z annars kan förstås integreras men en primitiv funktion av f har ingen entydig tangent för |z|=1.

Vad skulle vara en primitiv funktion till f i det här fallet?

En funktion som är konstant 1/2 för |z|<1 och z^2/2 för övriga värden på z. T.ex.

Är inte en holomorf funktion alltid oändligt deriverbar?

Att f är kontinuerlig följer som sagt av att f har en holomorf primitiv funktion. Därför skulle vi i praktiken kunna skippa villkoret. Att ha med det gör varken till eller från.

Dock kommer säkerligen beviset av "en holomorfisk funktion kan deriveras hur många gånger som helst" säkerligen senare i kursen, och troligen används den sats vi just nu kollar på direkt eller indirekt i dess bevis, så att hänvisa till den senare satsen ger ett cirkelresonemang.

Villkoret att f ska vara kontinuerlig finns antagligen med för att det utnyttjas i beviset.

I beviset så används att

∫ f(z)dz=∫ f(γ(t))γ'(t)dt

Kan det vara så att f måste vara kontinuerlig på U för att vi ska kunna välja en godtycklig kurva γ(t) på U? Att säga att f är kontinuerlig på U kanske är ett annat sätt att säga att f är definierad på U?

Lust att dela med dig av hela satsen och beviset?