Russels paradox

Det finns mängder som innehåller sig själv som element (exempelvis mängden av alla mängder) och de som inte har det, men hur är det med "mängden av alla mängder som inte innehåller sig själv"? Om den är en mängd som innehåller sig själv så gör den det inte och vice versa.

Man kan definiera mängder med hjälp av axiom så att den här och alla hitintills upptäckta paradoxer utesluts, men någon mängdlära med oändligt många element som är bevisbart (och inte enbart förhoppningsvis) fri från motsägelser har man mig veterligt inte lyckats konstruera.

Borde man ge upp?

Ett problem med mängdbegreppet är intuitionen.

Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen."

Georg Cantor, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1895).

The introduction of sets in mathematics became a success and set language came to be the language of mathematics. Therefore, the discovery of Russell's paradox was a great disappointment: from what had been taken for granted, that every predicate define a class, suddenly hard-fought obstacles came up. Russell formulated the famous paradox in terms of set theory:

[; y=\lbrace x \vert x\! \notin\!x \rbrace \rightarrow (y\! \notin\! y \leftrightarrow y \!\in\! y). ;]

The 'paradox' contradicts the existence of a set of all sets not having itself as a member, and this limitation is not exclusive for [;\in ;] but common for all binary predicates:

Not in any directed graph there exist a vertex pointing to exactly every vertex not pointing to itself.

Given a binary predicate R written in infix notation. Certainly, there are unitary predicates p, written in prefix notation, such that (y play the role of a 'class' here):

[; \exists y \forall x\!: x R y \leftrightarrow p(x) , ;]

but there are convincing counterexamples:

[;p(x) \leftrightarrow \neg(x R \, x);]

After all, it is easy to accept that the condition

[; \forall x\!\!: x R \,y \leftrightarrow p(x) ;]

not always have a solution y, but a question remain: is it possible to invoke well-defined classes into formal mathematics?

Jag skrev texten på engelska för några år sedan men orkar inte översätta den. Russell's paradox säger att det finns predikat som inte kan motsvaras av mängder - i strid med den intuitiva bilden.

Den axiomatiska mängdläran är enligt min mening ett hopkok som inte löser några problem.

Tillägg:
Psychologically, membership means imagined, static, fences surrounding members. Predicates on the other hand, express the inherent, unifying, dynamically invariant properties of non-gathered phenomena in an independent or holistic environment. An interesting question is if mathematics need membership? Membership-thinking might involve a paradigm that is not optimal for science. For example, scientist never talk about sets of electrons but about the property of being an electron. Unfortunately the set theory have had a bad influence on the scientific theories of space and time, since scientist do talk about sets of events instead of the property of being an event, supporting a confusion about what is space and what is some Cartesian model of space.

Orkar inte gå igenom detaljerna men du har kanske förstått läget!

Det rör som om en logiskt inkorrekt identitet:

M = Mängden mängder som INTE är element i sig själva.

En lätt löst paradox eftersom M inte kan visas upp! Det är bara att neka till identiteten. "M" är inte en mängd utan en KLASS brukar man säga. Sen undrar nån oförbätterlig hur det ligger till med klassen av alla klasser som inte innehåller sig själva? Och man svarar att det är en SUPER-klass ...och så kan man hålla på så länge man orkar

Problemet är exakt det samma för klasser: det finns ingen klass som motsvarar predikatet att inte tillhöra sig själv.

Tänk dig ett antal punkter på ett papper (det behöver inte vara ett ändligt antal) och pilar som går från en punkt till en annan. Vissa pilar är loopar, dvs utgår från samma punkt som den pekar på. Då kan det inte finnas någon punkt som exakt pekar på alla punkter som inte pekar på sig själv. Vare sig i det ändliga fallet eller i det oändliga.

Intuitionen, som är så viktig, kan helt vilseleda oss - även experter. Psykologiskt påminner det lite om frågeleken med tre dörrar där det finns getter bakom två dörrar och en bil bakom en dörr. När man står där är det svårt att förstå att man får dubbelt så stor chans att vinna om man byter dörr som om man inte byter.

Alltså, en person får välja en dörr som inte öppnas. Lekledaren öppnar en dörr där det finns en get. Ska man ta den första dörren eller byta till den tredje dörren?

Ganska snyggt demonstrerat!
(IGEN: late sigurdV vägrar bevisa för sig själv att iajkttagelsen är logiskt korrekt vilket den borde vara.)
Är du bekant med Peter Aczels och Smullyans arbeten?
Och så tycker jag du kunde kolla :
https://www.flashback.org/t2138856
Tyvärr är mina tankar utsmetade lite varstans...
Men jag har en allmän teori om paradoxens anatomi.
https://www.flashback.org/t2133075p9

Är du bekant med Aritmetikens grundvalar?

Menar du Peanos Aritmetik?

Så du vet inte vem som skrev Aritmetikens grundvalar? Vicken looooooser!

Som min matematikprofessor (Lars Hörmander) utryckte saken "Det är vetenskapligt bevisat att matematik inte går att bygga på logik" Med andra ord matematiken (av vilken aritmetiken är en del) saknar grundvalar.

Russel och Whitehead gjorde ett mycket avancerat försök som de återger i sin bok "Principia Mathematica". Russel skriver i sina memoarer att sedan gav han upp matematiken.

Mängden av alla oändliga decimalbråk är inte ett oändligt decimalbråk, med andra ordet den mängden ett element i M, mängden av gröna groder är inte en grön groda o.s.v, M har massor av element. För en närmare diskussion se "Foundations of Set Theory" av Bar-Hillel (och ett par andra författare) ISBN 0-7204-2270-1.

För en beskrivning av Gödels ofullständighets teorem (bevis för att en fullständig beskrivning av heltalen leder till en motsägelse - stryk induktionsaxiomet och beskrivningen kan göras motsägelsefri) se exempelvis "Logic for Mathematicians" av A.G Hamilton (ISBN 0-521-29291-3) kapitel 6

Vem är man? Det finns inte särskilt många som håller på med sådant här, de flesta som gör det bör ge upp för de är knasbollar.