Fråga om satslogik

Om vi har satserna:

A: Alla människor är onda.
B: Kalle är en människa.

Då kan vi dra slutsatsen:

C: Kalle är ond.

Tydligen så är en sådan slutledning inte giltig i satslogiken. Kan någon förklara varför?

För att göra den slutledningen räcker det inte med satslogik. Du måste använda predikatlogik.

Det konstiga är att jag trodde rent intuitivt att det var precis den typen av slutledningar som satslogik användes för.

Vi kan ju säga så här:

Försök att formalisera det du skrev och göra en logisk härledning av det hela. Vi kan ta ett exempel där satslogik fungerar.

P: Det regnar
Q: Det blir blött
R: Det luktar illa

Premisser:
P => Q
Q => R

Bevisa:
P => R

Bevis:
Antag P
Q (P=>Q)
R (Q=>R)

Klart!

Logik är extremt formellt. Du kan inte bara titta på orden i meningarna och konstatera att det stämmer.

Om vi tänker oss att vi försöker formalisera ditt exempel lite:

A: Alla människor är onda.
B: Kalle är en människa.

Bevisa
C: Kalle är ond.


Vi har alltså premisserna:
A
B

Vi vill bevisa:
C



Hmmm....

Vi kan försöka med predikatlogik istället. Observera att jag är lite ringrostig.

M(x) : x är en människa
O(x) : x är ond

Premisser:
∀x(M(x)⇒O(x))
M(a)

Bevisa:
O(a)

Nu är jag dessvärre lite för ringrostig för att kunna presentera ett helt korrekt bevis, men det här går iaf att bevisa.

När jag startade denna tråd var jag inte riktigt ärlig, jag har nämligen läst på nätet att man kan skriva:

A och B --> C

Att detta inte är giltigt i satslogik ska tydligen bero på att (A och B --> C) inte är en tautologi.

Att jag inte nämnde detta i mitt första inlägg var för att jag ville se om jag kunde få reda på något nytt.

Vad jag förstår så är en tautologi en sats som alltid är sann. Som exempel kan vi ta:

(Det regnar) eller (Det regnar inte)

Självfallet kan du skapa premissen (A och B => C), men det var ju inte det du gjorde. Du skapade premisserna A och B var för sig, och drog slutsatsen C.

En tautologi är alltid sann. Det har du helt rätt i.

Vi kan ta ditt exempel med "det regnar". Sätt P = "det regnar" och låt ~ vara negationssymbolen.

Nu ska vi bevisa att P v ~P är en tautologi

Anta: ~(Pv~P)
~(Pv~P)
| Anta P
| P
| P v ~P ( eller-introduktion)
| Motsägelse (~(Pv~P))
| ~~(Pv~P)

| Anta ~P
| ~P
| ~PvP ( eller-introduktion)
| Pv~P ( kommutativitet)
| Motsägelse (~(Pv~P))
| ~~(Pv~P)

~~(Pv~P) ( eller-elimination)
Pv~P ( negation-elimination )



Det kanske är något litet fel här, men nu ser du på ett ungefär hur logisk bevisföring går till med satslogik.

Intressanta bevis. Så det går alltså att bevisa saker i satslogik utan att använda sanningsvärdestabell?

Absolut, och det är så man gör för att bevisa saker med lite fler variabler. En sanningstabell med m variabler behöver m*2^m celler så om du har tio variabler behövs alltså 10240 celler.

Det krånliga är att man måste kunna en jävla massa regler. Här har du några exempel:

P
----
P or Q ( eller-introduktion )
Man inser lätt att om P är sant så är (P or Q) också sant. På ett sant påstående kan du alltid slänga på ett eller.

P and Q
--------
P ( och-elimination )
(P and Q) är sant omm P och Q är sanna var för sig. Alltså kan man dra slutsatsen P

P or Q
~P
------
Q ( eller-syllogism )
Om (P or Q) är sant och P är falskt måste Q vara sann.

Här kommer en häftig sak som kallas principle of explosion. Jag infogar lite radnummer så blir det lättare att se exakt vad jag gör. (Detta ska man egentligen alltid göra.)

1. P and ~P
---------
2. P ( och-elim 1)
3. P or Q ( eller-intro 2)
4. ~P ( och-elim 1)
5. Q ( eller-syllogism 3,4)

Det jag har visat här är att om du antar motstridiga premisser så kan du härleda exakt vad som helst. Q fanns inte ens med i premisserna. Ändå kan vi med säkerhet säga att (P and ~P) => Q

Premisser:
Det regnar
Det regnar inte

Slutsats:
Jag gillar snus

Är det möjligt att i predikatlogiken skriva allt på en rad så att vi får:

(∀x(M(x) och O(x))) och M(a) --> O(a)

Visst, men du skriver fel.

((∀x(M(x) => O(x))) och M(a)) => O(a)