Maximal volym i en cylinder

Har fastnat på en uppgift. Du har 8dm^2 plåt och ska tillverka en cylinder utan vare sig lock eller botten. Vilken är den maximala volymen du kan få fram?
Jag vet ju varken höjden eller radien och det är det som jag fastnar på, antar att man ska få fram två ekvationer eller dylikt. Om ni har tid får ni gärna ha med era beräkningar i svaren!

Ställ upp ett uttryck för volymen innehållandes radien och höjden som obekanta. Gör sedan samma sak arean och lös ut en av de obekanta och stoppa in i uttrycket för volymen.

Derivera uttrycket för volymen (som nu bara innehåller en obekant) och sett derivatan lika med noll.

Jag fastnar i deriveringen, är det någon som har fått fram rätt svar som kan visa? :/

Vad har du fått fram som du ska derivera då?

A = 2πrh
V = πr2h
8dm^2 = 2πrh bryter ut h.
h = 8/2πr får då volymen.
V= π*r^2*(8/(2π*r))
Det här kan vara helt galet, men jag är fan stuck alltså, kanske har "målat in mig i ett hörn" med mitt tankesätt..

Utan varken lock eller botten är problemet mycket enkelt. Då blir volymen per given mantelarea större i det oändliga ju mer du ökar diametern och minskar höjden. Du behöver alltså inte derivera någonting, bara öka diametern så mycket du orkar. Ska man sätta upp en verklig praktisk gräns utanför matematikens idealvärld så kan cylindern knappast bli lägre än ungefär en ångström (1×10^−10 m) då den i alla fall måste vara någon eller några atomer hög.

Hade den haft lock och botten blir optimeringsproblemet knepigare men nu skulle den ju inte ha det.

Wow, det visste jag inte, men hur kan det bli så egentligen? Känns som att vi är på olika nivåer inom vår matematiska kunskap!

Exakt. Vill man ändå bevisa detta med derivering fås
V (r) = π*r^2*(8/(2π*r)) = 4r
V'(r) = 4

Derivatan är alltså positiv , oberoende av varken r eller h, och funktionen är därmed konstant växande.

Äsch, det var så många år sedan jag läste matte så jag har glömt det mesta av det mer avancerade slaget. De flesta studerande skulle nog klå mig idag men en del kommer jag ju ihåg.

Man kan här tänka på att när en cylinder fördubblas i diameter (vi rör inte höjden nu till att börja med) så blir cirkelytan fyra gånger större (A=π*D²) men omkretsen och därmed mantelarean bara fördubblas (O=π*D). Då ser vi att det är god plåtekonomi att göra knubbiga cylindrar så länge vi inte behöver bry oss om lock och botten.

Ska vi närma oss den krångliga verkligheten så tillkommer problem som att plåttjockleken på stora tankar måste varieras både beroende på höjd och diameter för att det ska bli optimalt både ekonomiskt och hållfasthetsmässigt.

Detta gjorde en tankleverantör mig uppmärksam på inom jobbet när vi skulle ha en tank på många tusen m³. Han byggde bara plåttanken och sket i bottenplattan som skulle göras av betong (tankväggen tätas mot betongen så botten är inte plåtklädd) så han tyckte vi skulle göra den jättebred men låg för att det skulle bli billigast. (Kan man tycka verkar kontraproduktivt för honom om han vill tjäna pengar men så ville han förstås klå sina konkurrenter.) För egen del var jag förstås tvungen att se till totalkostnade och en m² bottenplatta kostar över 1000 kr så då var inte optimeringsproblemet lika enkelt längre.