Vad är roten ur 4?

Hejsan!

Kör en liten kurs i matte på nätet. Det där står det att x^2=4 har två lösningar d.v.s. x1=2 och x2=-2.
Så långt är jag med. Det jag inte förstår är sedan när de påstår att x=4^(1/2) bara har en lösning, x=2.

Varför är inte -2 en lösning till roten ur 4?

x^2=4 är ju förfasiken exakt samma som x=4^(1/2), då bör de väl även ha samma lösningar?


Källa:
http://wiki.math.se/wikis/sommarmatt....1_R%C3%B6tter

Du har använt att (x^a)^b = x^ab, vilket för rationella tal endast funkar för icke-negativa x.

√(x²) är inte detsamma som x om x är negativt.

Det står uttryckligen i din länk varför det är så. Lite torrt och tråkigt svar kanske, men helt enkelt är kvadratroten ur definerad som den icke-negativa lösningen till x^2 = a.

Du kan skriva om problemet för att illustrera varför den har +-2 som lösningar:

X^2 = 4
X^2 - 4 = 0
X^2 - 2^2 = 0

Sedan applicerar du konjugatregeln som lyder a^2 - b^2 = (a-b)(a+b), dvs:

(X-2)(X+2)=0, När ekvationen står på detta sätt så ser du varför vänsterledet blir 0 på två olika sätt, nämligen när (X-2) = 0 eller (X+2) = 0, dvs när X=2 eller X=-2.

FMT -> Underforum

/Mod

Är det verkligen sant att man inte kan stoppa in negativa x-värden i en ekvation som är ändrad med den metoden, och få samma resultat som innan ändring? Låter kostigt, du får gärna förklara eller ge mig en länk, för jag förstår inte just än i alla fall.

Okej det bara ÄR så alltså menar du? Om någon bara har bestämt att tecknet "kvadratroten ur" inte ska ha några negativa lösningar, borde ju fortfarande x^(1/2) vara tillåten att ha negativa lösningar?

På wikipedia står det föresten att roten ur 4 har två lösningar:
http://sv.wikipedia.org/wiki/Kvadratrot



Jo den biten har jag förstått! Att X^2=4 har både x=2 och x=-2 som lösningar. Det jag inte förstår är att det inte är samma sak med roten ur 4.

Det var dock ingen naturvetenskaplig uppgift det här. Men spelar väl ingen roll

Ja, det är bara så. En eller flera gubbar med mycket skägg har bestämt att det är en definition. Man har helt enkelt bestämt sig för att så är det, så att det inte ska bli missförstånd när man pratar om saker. Detta gäller reella tal, däremot om man övergår i komplex analys så har roten ur två lösningar, men man måste ändå välja vilken gren.

Vet inte om du läst om imaginära tal, men när vi ska definera vad sqrt(-1) är, försöker man använda den vanliga definitionen blir det konstigt och även om man kunde beräkna det så skulle det vara svårt att hävda att +1i var positivt medan -1i var negativt, i just detta fall känns det naturligast att tänka sig +1i. Men om vi istället har 3+4i eller 3-4i, vilket av talen är "positiva"? Här får man två svar ... men när man räknar får man hålla sig till en gren på roten-ur, för annars är det ingen funktion.

Ditt eget exempel är bra, om det hade gått att göra som jag gjorde även för negativa x får vi följande;

((-2)^2)^(1/2) = (-2)^(2/2) = -2

men (-2)^2 = 4 och √4 = 2 så vi får -2 = 2

x=+-2 är lösning till ekvationen:

x^2=4

roten ur x är definierat som den positiva lösningen till ekvationen

x^2 = a, där a är ett tal >0

Ah, det är skillnad på rötter till en ekvation och kvadratroten ur ett tal. Kvadratroten är bara en funktion för att ur en siffra räkna ut en annan siffra. Man har valt att anpassa denna funktion så att den skall vara användbar för att finna rötter på en ekvation

√c är funktionen på c

x^2 = c är den ekvation man vill lösa.

Man använder då funktionen och har bestämt att ekvationen löses så att

x = +√c eller x = -√c.

Om nu √4 skulle ha varit både -2 och 2 får man fyra svar, nämligen

x = +√4 eller x = -√4

vilket utvecklas till:

x = +2, eller +-2 eller x = -+2 eller x = --2

Det blir liksom ett överskott av lösningar som inbillar oss att vi har fyra svar
när vi egentligen bara har två svar. Matematikerna gillar dessutom inte funktioner
som på ett värde ger två resultat.