Hjälp konstruera polynom samt ta fram nollställen

Hej behöver hjälp med dessa uppgifter.

(1). Hur tar man fram nollställena till detta tredjegradspolynom när man har konstantermen 2 med i det hela ???

f(X)=3X^(3)+9X^(2)-27X+2

(2). Hur konstruerar jag ett polynom med en terasspunkt i en given punkt (x,y)?

Tack på förhand!

3X^(3)+9X^(2)-27X+2

Bryt ut X

X(3X^(2) + 9X - 25) = 0
3X(X^(2) + 3X - (25/3)) = 0

Måste bli jobbiga rötter dock

Gör absolut inte så, då blir det fel.

Men vad gör du med konstantermen 2?? den kan man ju inte bara plocka bort!?!?!
feeling lost!

Angående frågan om terasspunkter, den enklaste grafen med terasspunkt är:

f(x)=x^3

För att få denna punkt att hamna i (a,b) skriver du helt enkelt om den som:

f(x)=(x-a)^3+b

Ja det är ju så man gör! tack tack!

Är fråga 1 en skoluppgift eller ett polynom du har hittat på? Det har nämligen väldigt skumma nollställen. Normalt sett brukar man gissa sig till ett första nollställe, t.ex. x=a, då säger faktorsatsen att du kan bryta ut en faktor (x-a). Du får då ett resterande andragradspolynom.

Hej, detta är en provfråga. frågan är egentligen bestäm funktionens extremvärden med hjälp av första samt andra derivata.
Detta har jag gjort,

f(x)=3X^(3)+9X^(2)-27X+2 ---> f'(x)=9X^(2)+18X-27 ---> f''(x)=18X+18

extremvärden ges av f'(x)=0 dvs, x=1 och x=(-3) vilket ger extremvärdena f(1)=(-13) och f(-3)=83

max, eller minpunkt ges av andraderivatan f''(x).

f''(1)=36 <--(positiv, ger minpunkt)
f''(-3)=(-36) <--(negativ, ger maxpunkt)

Det är följdfrågan jag har problem med, då ska man teckna grafen till f(x) vilket innebär att man behöver eventuella nollställen till f(x)..

Skriv gärna inte om uppgifterna utan skriv uppgifterna som de är tänkta från början. Brukar bli lättare att svara då!

Hur som helst, om nu denna uppgiften är direkt återgiven så skall jag försöka ge ett bra svar på den.

Vad vet vi om terrasspunkter? Jo det är att både första- och andraderivatan är noll där. Vi skall alltså konstruera ett polynom f(x) så att f'(a) = f''(a). Alltså i samma punkt på x-axeln skall de vara lika. De skall dessutom ha y-värdet 0 där.
Vi vet då att:

f'(a) = f''(a) = 0

Vi skall finna ett sådant polynom. Vi vet också att det inte spelar någon roll var denna punkt finns, om den är i origo eller i punkten (2, 5) spelar alltså ingen roll.

Betrakta funktionen:

f(x) = (x-2)³

Det är ett polynom och den har ett nollställe där x = 2. Men vad händer med dess derivata då?

f'(x) = 3(x-2)²

Jo just det. Den har också ett nollställe i samma punkt. Vi deriverar igen.

f''(x) = 6(x-2)

Vi verkar ha funnit ett samband! Här gäller ju faktiskt att f'(2) = f''(2) = 0.

Det finns en sats som säger att om x = a är ett nollställe av multiplicitet m ≥ 2 (t.ex. dubbel- eller trippelrot) till ett godtyckligt polynom så är x = a ett nollställe av multipliciteten m-1 till polynomets derivata. Om x = a däremot är ett enkelt nollställe så är det definitivt inte ett nollställe till derivatan.

Mvh

Satsen om rationella rötter säger att ett om ett polynom har rationella nollställen kan de endast uppkomma på vissa former.

Vi tittar då på polynomet:
f(x) = 3x³+9x²-27x+2
Då kan rationella rötter endast förekomma på formen

±1/1, ±2/1, ±2/3, ±1/3

Om dessa inte är nollställen så är de irrationella eller imaginära. Dvs då antingen √2 eller t.ex. 2+2i.

Dessa är rätt svåra att hitta. Vad du kan göra är att då använda newtons rhapson för att approximera fram nollställen. Men det börjar då genast bli rätt tidskrävande. Jag skulle kunna tänka mig att det inte är meningen att du skall finna nollställena för att lösa denna uppgift, utan enbart helt enkelt finna extrempunkterna och i alla fall den punkten där den skär y-axeln. Det gör ju den ju i punkten (0,2) vilket vi kan lätt se genom att sätta x = 0. (x är ju noll på hela y-axeln)

Tack Bengtz