Skall vi se om detta går att lösa analytiskt. Villkoret för en terrasspunkt är ju
f'(a) = f''(a) = 0
Sätter:f'(x) = g'(x)·(x-a)²
g'(x) är derivatan till ett godtyckligt polynom. Villkoret för terrasspunkt uppfylles fortfarande.
f''(x) = g''(x)·(x-a)²+2·g'(x)·(x-a)
Och villkoret för andraderivatan uppfylles också. Och det beror på satsen jag angav i mitt andra inlägg (den om multiplicitet). Vi kan då faktorisera för att förenkla.
f''(x) = (x-a)(g''(x)·(x-a)+2·g'(x))
Men vi vill ju finna f(x). För att göra detta så får vi integrera båda sidor med den obestämda integralen och lösa den.
Lösa ekvationen med avseende på f(x):f'(x) = g'(x)·(x-a)² ⇔
∫f'(x) dx = ∫g'(x)·(x-a)² dx ⇔
f(x) = ∫g'(x)·(x-a)² dx
Där g(x) är ett godtyckligt polynom. Så detta är en metod för att hitta en given terrasspunkt i punkten (a, f(a)). Vi skall nu se om vi kan förenkla det ytterligare.
∫g'(x)·(x-a)² dx =
g(x)·(x-a)²-∫2(x-a)g(x) dx =
g(x)·(x-a)²-2G(x)(x-a)+2∫G(x)dx
Funktionen f kan då skrivas som:f(x) = g(x)·(x-a)²-2G(x)(x-a)+2∫G(x)dx
Detta ger oss alla polynom med terrasspunkt i punkten (a, f(a)) för ett godtyckligt valt polynom g(x).
