Sannolikhetsräkningsnöt - Två par i Yatzy

Hej,

Satt och spelade Yatzy härom dan på ett tåg och hamnade då i följande situation efter två slag:

Hade två sexor och en femma och ville ha två par. Övervägde då att:

1. Spara de kvarvarande två tärningarna för att försöka få en till femma på sista kastet

samt

2. Strunta i femman och istället kasta om alla tre tärningar i hopp om att få två lika av någon valör.

Stod då och tvekade och valde sen att spara femmorna. (fick den inte bör tilläggas.)

Sen efter partiet hade jag inget att göra utan funderade då på om jag valde rätt. Försökte ställa upp lite beräkningar på ett papper och kom fram till svaret. Dock vill jag gärna kolla med er...

Så:

a) Vilket är störst chans att få - 1 eller 2?

b) Yatzy handlar ju om poäng och att få två sexor och två femmor ger 22 poäng. Vilken blir väntevärdet för de båda fallen (satsa på femmorna vs försöka få två lika av någon annan valör.)

Till sist, nej, detta är inte en skoluppgift jag har även om det ser ut som en.

Återkommer med min lösning senare i tråden!

med närmare tanke. Det är lika stor chans

Jag skulle säga att 1 är bäst. Då du försäkrar dig om att den första tärningen inte är ännu en 6:a och har sen 2tärningskast ala 1/6 chans att få in ännu en av samma värde.

Är lite ringrostigt men gör ett försök.

Chansen att få en femma med två tärningar är 1/6*2=1/3 alltså ca 33% chans

Det är nu jag har glömt bort hur man ska tänka det finns ju iaf 6^3=216 möjliga kombinationer.
de som ger par borde vara 30 stycken om vi bortser från att vi kan ha två par i sexor vilket jag tror inte räknas. 30/216=0,138 alltså betydligt lägre chans. ca 14%

111 112 113 114 115 116
221 222 223 224 225 226
331 332 333 334 335 336
441 442 443 444 445 446
551 552 553 554 555 556

Det är större chans att få två lika på tre tärningar än att få en 5:a på två tärningar.

Dock är detta är inte rätt fråga att ställa. Det skulle också kunna vara så att du får två lika (som inte är 5) om du sparar 5:an. Tar man detta i beaktande så är det (av symmetriskäl) lätt att se att de två alternativen ger dig lika stor chans att få två par (om man också räknar fyrtal som två par).

Å andra sidan har du bättre chans att få tretal eller till och med fyrtal om du slår alla tre tärningar, så på så sätt så gjorde du fel.

(Anledningen till att man har större chans att få två lika på tre tärningar är just att denna chans är samma som sannolikheten att få en 5:a eller två samma på två tärningar, vilket uppenbart är större än sannolikheten att få en 5:a på två tärningar.)

Tänk på chansen att få en femma med sju tärningsslag.

Fan tänkte fel får ta en liten fullösning då
36 olika möjliga kombinationer

11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36
41 42 43 44 45 45
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66

11/36=0,305 ca 30%

inser även att jag tänkt fel på det andra scenariot finns fler gynnsamma utfall där

Blä, det där är en jobbigare fråga, men jag hade lite tråkigt:


Så alternativ 1 var visst bättre, förutsatt att jag nu har räknat rätt.

Yatzee lär ha blivit knäckt för några år sen. Alltså på så sätt att nån lyckats räkna ut vad som är bäst att göra i varje situation, inte bara givet ens eget kast, utan även givet ens eget läge i "tabellen" (som alltså beskriver utfallet av alla spelares alla kast hittills) givet ens motspelares läge. Det inkluderar t.ex. frågan huruvida två par bör skrivas in i fältet som två par, eller som ett par, eller som att offra liten stege m.fl. alternativ. Det lär ha varit en nöt som satt rätt hårt åt att knäcka, för matematiker som ägnar sig åt den genren.

Fast det var enligt en annan uppsättning regler än den jag är van att spela enligt (som att man skulle få 25 poäng för fyrtal oavsett om det är ettor eller sexor! Be Gone Satan!!! Fyrtalsfältet på blanketten är bara en opportunity att få några prickar räknade alls, från 4 till 24 poäng värt. Det är bara fem lika = YATZEE SJÄLVT som ger en fast poängmäng, 50 poäng, oavsett numerär per tärning. DET ÄR DÄRFÖR DET HETER YATZEE! Liksom bingo heter bingo, för att man INTE ropar det när man har fått FYRA AV FEM i rad...) Så för mig hade den algoritmen ingen nytta alls. Det går liksom inte att uppgradera kalkylen för den typen av regeländring, utan att göra om allt från början igen.

P(Minst en femma sista två) = 1 - P(Inga femmor sista två) = 1 - 5/6 * 5/6 = 1-25/36 = 11/36 = 0.3055555555....

Andra fallet är lite klurigare.
Vi tittar på två separata delfall och summerar sannolikheterna för dem sedan:
* vi får precis ett par (ej i sexor och ej heller triss) på de sista tre tärningarna
* vi får triss (ej i sexor) på de sista tre tärningarna.

Sannolikheten att få precis ett par (ej par i sexor, ej triss) kan man räkna ut såhär.

Kalla de sista tärningarna A, B, C.

Sannolikheten att få ett par på två fixerade tärningar (t ex A och B) är 5/6 * 1/6 * 5/6 (sannolikheten att dra något annat än sexa på den ena, gånger sannolikheten att dra samma på den andra, gånger sannolikheten att inte dra samma på den tredje) = 25/216.
Man kan välja ut två av de sista 3 tärningarna på 3 sätt, så den totala sannolikheten blir 3 * 25/216 = 75/216

Sannolikheten att få triss på de sista tärningarna (ej i sexor) är 5 * (1/6)^3 = 5/216 (sannolikheten att dra triss av ett visst tal är (1/6)^3, och man kan göra det på 5 olika sätt).

Så totala sannolikheten att få tvåpar är 80/216 = 10/27 = 0.370370370...

När det gäller att räkna ut väntevärdet beror det ju på vad du har för andra möjliga fält att fylla i.
Om vi antar att tvåpar är det enda du kan fylla i (och att allt annat ger noll) borde det bli såhär:

I första fallet är det helt enkelt 11/36 * 22 = 6.7222222222222....

Andra fallet:
Pga symmetri är sannolikheten för varje tvåpar lika stort, dvs (10/27) * (1/5) = 2/27

Väntevärdet blir då (summera över sannolikhetsviktat värde av möjliga tvåpar)

(2/27) * \sum_{i=1}^5 (2*6 + 2*i) = (2/27) * (12*5 + 2*15) = (2/27) * (90) = 6.66666.....


Så klart större sannolikhet att få _något_ tvåpar om du bara behåller sexorna, men det väntevärdesriktiga beslutet är att behålla sexorna och femman och satsa på det höga tvåparet.

Satan vad många bra svar som kom här - glömde att tacka, men fem år senare hittade jag mitt bokmärke

Kanske onödigt att posta, men tycker det finns ett enklare sätt att resonera än det som postats(därmed inte sagt att det är fel har inte läst igenom all poster).

1. Spara femman. Att få två par kan nu göras genom att rulla 5,6),(6,5),(5,5)(4,4) osv vilket är 7 kombinationer av 36 möjliga.

Rullar man tre tärningar x x x så är antalet sätt att få tre av samma sort 1 st. Om man tänker på antal sätt att placera ut tex två femmor så finns det tre sätt: (5 5 något),(5,något,5)samt(något,5,5). Något är då vilket tal som helst utom en femma. Dvs totalt 3*5 kombinationer + 1 kåkkombo som ju också ger tvåpar. Det finns 5 möjliga tvåpar så totalt: 5*16 kombinationer av 218

Litet större chans att få tvåpar(vilket som helst) med metod 2 då 80/218 >10/36

När det gäller del 2 så är det här jag tycker att ovanstående resonemang förenklar det hela. Om man rullar två så blir väntevärdet :
(3/36)*22 +(1/36)*( 20+18+16+14) = (ungf) = 3,72
Om man rullar tre så är det 16 kombinationer av 218 för varje möjligt tvåpar så väntevärde:
(16/218)*( 22+20+18+16+14) = (ungf) = 6,6

Så metod två är klart bättre och precis tvärtom vad jag gjort alla dessa jävla år...