Citat:
Ursprungligen postat av diarrehampus
Hej!
Har tenta i basmatematik 3 (Matematik D) och känner att jag "kan" det mesta utom att ge samtliga lösningar till trigonometriska ekvationer.
Har tagit två exempel om någon är snäll och kan hjälpa mig:
cos(2x-pi/3) = 0,5
2cos3x = 1
Undrar också lite hur man deriverar denna uppgift, är det kvotregeln som gäller?
y= lnx/tanx
Får det till detta: (1/x * tanx - 1/(cosx)^2 * ln2x)/(tanx)^2 =
tanx/x(tanx)^2 - ln2x/(tanx)^2*(cosx)^2 = 1/tanx - ln2x/(sinx)^2
Tänker jag rätt under de olika stegen?
1.
cos(2x-pi/3)=0.5
2x-pi/3=arccos(0.5)+2pi*n
x=(pi/3+pi/3+2pi*n)/2=
pi/3+pi*n
cos(x)=sin(x+pi/2) -->cos(2x-pi/3)=sin(2x-pi/3+pi/2)=0.5
sin(2x+pi/6)=0.5
2x+pi/6=pi/6+2pi*n
x=pi*n
2.
2cos(3x)=1
cos(3x)=1/2
3x=arccos(1/2)+2pi*n
x=(arccos(1/2)+2pi*n)/3=(pi/3+2pi*n)/3=
pi/9+(2/3)pi*n
cos(x)=sin(x+pi/2) --> cos(3x)=sin(3x+pi/2)=1/2
sin(3x+pi/2)=1/2
3x+pi/2=pi/6+2pi*n
x=(pi/6-pi/2+2pi*n)/3=(-pi/3+2pi*n)/3=
-pi/9+(2/3)pi*n
3.
y=ln(x)/tan(x)=ln(x)*1/tan(x)=ln(x)*1/(sin(x)/cos(x))=(ln(x)*cos(x))/sin(x)
Använd både produktregeln och kvotregeln, vi kan börja med att derivera täljaren med hjälp av produktregeln:
d/dx(ln(x)*cos(x))=(1/x)cos(x)+ln(x)*-sin(x)=cos(x)/x-ln(x)sin(x)
Kvotregeln:
(f/g)'=(f'g-fg')/g^2
f=ln(x)*cos(x)
f'=cos(x)/x-ln(x)sin(x)
g=sin(x)
g'=cos(x)
g^2=sin^2(x)
y'=((cos(x)/x-ln(x)sin(x))*sin(x)-ln(x)*cos(x)*cos(x))/sin^2(x)=
=(sin(x)cos(x)/x-ln(x)sin^2(x)-ln(x)*cos^2(x))/sin^2(x)=
=(sin(x)cos(x)/x-ln(x)(sin^2(x)+cos^2(x)))/sin^2(x)=
=(sin(x)cos(x)/x-ln(x)*1)/sin^2(x)=(sin(x)cos(x)/x)/sin^2(x)-ln(x)/sin^2(x)=
=
cos(x)/(x*sin(x))-ln(x)/sin^2(x)
