Kochs snöflinga och oändlig omkrets

Det är sagt att Kochs snöflinga har ändlig yta, men oändlig omkrets. Jag kan förstå hur det går, men jag är osäker på detaljerna kring det.

När jag var mindre fick jag höra en sån grej som att "Det är omöjligt att gå från punkt A till punkt B, för först måste du gå halva vägen, sen måste du gå halva återstående vägen, sen halva återstående vägen och så vidare, men du kommer aldrig komma fram." Nu i senare tid har jag förstått att i och med gränsvärden och så vidare så kommer man faktiskt fram till punkt B.

Samma sak gäller, så vitt jag har förstått, alla tal med oändlig decimalutveckling också. Man kan se pi som 3 + 0.1 + 0.04 + 0.001 + 0.0005 och så vidare, och det är en addition med oändligt många termer, således borde pi också bli oändligt stort. Det är ju självklart inte fallet.

Kochs snöflinga då? Hur kommer det sig att den har oändlig omkrets? Kan man inte se det som en addition av 1/x precis som i första fallet, med sträckan A->B? I så fall borde ju omkretsen bli ändlig.

Jag är lite förvirrad kring det här, som kanske framkommer av texten, men jag är mycket nyfiken på hur det fungerar, så jag uppskattar all hjälp!

Det beror väl på att varje "tagg" innehåller oändligt många fler rekursiva taggar, vilka - var och en - i sin tur innehåller oändligt många rekursiva taggar till. Och så vidare i oändlighet. Det "zoomar" alltså ständigt in och är därför oändligt kompakt. En miljontedel av en centimeter på pappret blir en oändligt lång sträcka om man får för sig att veckla ut den.

Ett problem som uppstår om man ska jämföra snöflingan med pi är att snöflingans omkrets ständigt fördubblas medan pi är ett fast tal.

Jag som lekman satt och klurade på denna ett tag, och det svar jag kom fram till va att för varje "steg" så ökar omkretsen med en fast procent, nämligen 33%. Men ökningen i area avtar för varje steg och kommer gå mot noll.

Med andra ord så är din liknelse med pi applicerbart på snöflingans area, men inte dess omkrets.

Precis, det är inte alltid som en summa av oändligt med termer går mot ett specifikt värde.

Hur ser jag skillad på fallen rent formellt?

Den ena går mot oändlighet, den andra mot ett fixt värde.

Du har läst lite på gränsvärden, förstår jag? I så fall, läs lite mer. Man får då insikt att funktioner vars ingående variabel (Eller variabler?) man låter öka mot oändligheten går mot noll, ett fixt värde eller oändlighet.

Ett väldigt roligt exempel på detta är någon jävla "trumpet", kommer inte ihåg namnet. Du har en funktion, f(x) = 1/x. Sedan snurrar du grafen runt X-axeln och får något som liknar en trumpet. Man kan nu, med hjälp av integration, räkna ut vilken area denna trumpet har samt vilken volym den får.

När man sedan ska räkna ut volymen denna "trumpet" skapar mellan punkten x=1 och en annan, större punkt "a" så kan man se, att om man låter "a" bli oändligt stor så kommer ändå inte volymen i trumpeten att bli det. Även fast den är oändligt lång, så blir diametern på trumpeten smalare och smalare och volymen går mot pi när längden av trumpeten går mot oändligheten.

Detsamma gäller dock inte för dess area. Här kommer arean att öka lite mer allt eftersom längden på trumpeten ökar, och den gör det på ett sätt att den inte går mot ett fixt värde utan går mot oändligheten.

Alltså har du nu en trumpet du kan fylla med ~3.14L färg men som ändå inte räcker till att måla utsidan.

Det finns en mängd konvergenstester men just i fallet Kochs snöflinga så kan man visa hur mycket varje iteration ökar längden på omkretsen och på så sätt visa att den går mot oändligheten. Wikipedia är alltid bra...

http://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake
http://en.wikipedia.org/wiki/Convergent_series

Mer påläsning ska bli! Känns bra att veta att det finns mer att hämta.

Trumpeten känner jag igen, och jag har jobbat med rotationskroppar, men jag kan inte dra mig till minnes egenskaperna du beskriver. Intressant dock!

Gabriels horn, ja det är ett intressant horn. Den visar väl skillnaden på verkligheten och matematiken på ett bra sätt.

edit: men jag har inga fler argument