Saker inom matematiken som är sanna men oinuttiva

Hade en tentamen i fourieranalys för någon vecka sen och kom när jag satt och pluggade på en ganska rolig sak inom distributionsteorin!

Om man låter f_n(x)=exp(i*n*x). Så kommer följden av f_n då n går mot oändligheten att i svag mening gå mot nollfunktionen (per Riemann–Lebesgue's lemma), vi har alltså en följd av funktioner med absolutbelopp 1 överallt men vars gränsvärde är nollfunktionen. Ganska coolt, och det tog mig ett tag att förstå vad som egentligen hade hänt när jag räknade på det...

Sen har vi Banach–Tarski's paradox, som är typ helt galet oinutiv. Att man kan ta en boll, dela upp den i småbitar, flytta runt bitarna och sedan sätta ihop bitarna, till TVÅ bollar. Mycket häftigt!

Är ganska fashinerad av sånna här saker, är det någon annan som hittat något liknande?

Säg att vi har ett vägnät där tiden det tar att köra varje väg är en affin funktion av antalet som kör på vägen. Antag att ett visst antal förare skall ta sig från A till B och att alla förare agerar rationellt.

Om vi sedan inför en ny vägsträcka med körtid 0 så kan det inträffa att den förväntade körtiden ökar för alla förare.

Detta kallas Braess' paradox Fenomenet har även observerats i verkligheten när nya motorvägar byggts.

TS, det stavas intuitivt


Det är väl ingen paradox direkt? Alla vet att den nya vägen är snabbare, om inte dess kapacitet överbelastas, så alla tror att de kan använda den vägen, men då överbelastas den helt enkelt...

Du missförstår mig. Den nya vägen har alltid körtid 0, oavsett hur många som kör på den. Dessutom agerar alla perfekt rationellt med perfekt information, så om de har anledning att tro att det finns en bättre väg så kommer de att välja den.

Läste lite på wiki och då förstod jag bättre

Exemplet de hade där bygger på att man har alternativ där restiden är konstant och där restiden beror på antalet bilar. Det känns som en lite overklig approximering, men jag vet inte...

Det stod också: "Steinberg och Zangwill gav 1983 tillräckliga och nödvändiga villkor för att Braess paradox skall uppkomma i nätverk under vissa antaganden. De fann att paradoxen inträffar ungefär lika ofta som den inte gör det; deras resultat gäller slumpmässiga snarare än planerade nätverk och tillägg."

Alltså, när tillbyggnader eller borttaganden av vägar sker slumpmässigt är det alltså 50/50 om det blir en förbättring eller inte.

Gabriels horn är ju också ganska kul.
Låt y=1/x då x=>1 rotera runt x-axeln. Konen som då skapas kommer att ha en ändlig volym men oändlig mantelarea. Du kan alltså fylla konen helt med pi liter färg, men du kommer aldrig kunna måla hela insidan.

På en analystenta första året fick jag precis det problemet: "Beräkna (a) mandelarean och (b) volymen för kroppen som bildas när kurvan y = 1/x, x >1, roterar kring x-axeln." Jag fick volymen till pi men kunde inte få något vettigt värde på arean och lämnade den deluppgiften tom.

På vilket sätt exakt är detta ”sant”? Har någon bevisat det, praktiskt? Det kanske enbart fungerar i teorin. Att ta ett objekt, klyva det i många bitar, och sen med hjälp av de bitarna som man fått efter klyvning bygga upp två stycken identiska objekt som det första, låter ju… …ologiskt & omöjligt.
Det hade varit häftigt ifall man kunde ta en människa och göra samma sak. Två stycken kopior.

Men vad är det som gör att det skulle vara möjligt i teorin, då?

Självklart bara i teorin, i verkligheten har vi ju problemet att materia består av atomer och kan inte splittas som vi vill.

• "Monty Hall"-problemet
  
• 0.999... = 1 (se även Fb-tråden: https://www.flashback.org/t658455)

Stör mig lite på Monty Hall problemet för det är felformulerat så ofta. Det spelar inte alls någon roll om man byter dörr eller ej, förutsatt att spelledaren själv väljer bort en slumpmässig dörr. Det som gör det bättre att byta är att spelledaren endast får välja bort en dörr som inte ger någon vinst.

Inte ens på wikipedia är den fullständigt formulerat korrekt, dock ur ett exempelperspektiv. Men spelledaren måste alltså alltid välja bort den felaktiga dörren(den dörren med en get) för att det skall vara fördelaktigt att byta dörr.

Någon som kan bevisa det för någon som inte läst fourieranalys?