Saker inom matematiken som är sanna men oinuttiva

Jag ger inget bevis, men en liten förklaring.

En följd f_n av funktioner sägs konvergera svagt mot 0-funktionen om ∫ f_n(x) g(x) → 0 för varje fix funktion g (som tillhör en klass av funktioner, sådan att integralen är definierad och ändlig).

I det fall Dr.Pekka tar upp är f_n(x) = e^(inx). När n växer får vi funktioner som oscillerar allt snabbare. Antag att g varierar långsamt. Då kommer produkten f_n g också att oscillera snabbt, och två närliggande halvperioder av produkten kommer att nära på ta ut varandra. Detta leder till att integralen blir liten. Ju snabbare oscillationer, desto mer tar halvperioderna ut varandra. Detta är den något intuitiva förklaringen av att f_n → 0 svagt.

Kan du förklara lite utförligare vad du menar med detta?

Tusen tack.
Om jag fattat det rätt så ska även följande funktion konvergera mot 0-fkn?
f_n(x) = sin(n*x)

|e^(inx)| = 1


Korrekt.

Man kan skriva
sin(nx) = (e^(inx) - e^(-inx))/(2i) → (0 - 0)/(2i) = 0 svagt.

Var lite trött igår

Jag irriterar mig på trådrubriken. Matematik har inget att göra med intuition, men allt med abstraktion och logik.
Varje seriös matematikkurs på högskolan ska piska sådan dumheter ur eleverna det första de gör.

Nja, väldigt mycket matematik som inehåller begreppet "oändlighet" brukar ibland kallas kontraintuitiv. Monty hall-problemet brukar också beskrivas som just ett kontraintuitivt problem, felformulerat eller ej.

Hur får man fram arean? Det borde vara summan av alla 2pi*r dx tycker jag, men hur gör jag? Jag har testat att integrera, men får då svaret 2pi vilket verkar vara fel.

2pi·∫f(x)·√(1+f'(x)²) dx

Tack, nu ska jag bara tolka vad som står.

En annan sak som jag hade svårt att förstå i början är om man har en betingat konvergent serie med summan s, så kan du genom att enbart flytta om termerna få en annan godtycklig summa! De går även att få serien att divergera på samma sätt.

Inom komplex analys finns det Riemann mapping theorem.


Det mest intressanta är att Riemann formulerade satsen långt innan någon klarade av att bevisa att den faktiskt stämmer.