*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

1. sant
2. sant
3 och 4: förstår inte vad du menar.

Flervariabelanalys, optimering

Bestäm största värdet av f(x,y,z) = xyz om g = x + y + z = 1 och h = x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1.

Bivillkoren beskriver en kompakt mängd som är ett klot som begränsas av ett plan, och området är alltså cirkelytan på det där planet. Jag har undersökt den inre ytan dvs g = 1 och h < 1 och funnit en extrempunkt i (1/3, 1/3, 1/3) |---> 1/27 (avbildningspil).

Nu ska jag undersöka cirkelranden dvs då g = 1 och h = 1. Optimum finns då där gradienterna för f, g och h är linjärt beroende. Jag har testat att beräkna determinanten och satt = 0, och även att kryssa två gradienter, för att sedan kryssa den nya vektorn med den tredje och sätta = nollvektorn men båda sätt mynnar ut i (enligt mig) hopplösa ekvationssystem. Tänker jag rätt och i så fall, kan någon visa hur det blir?

Tror du har missat tecken i 3 och 4. Skall det vara "delmängd av" (⊆)?

Let G ={0,1,2,3,4} together with the operation of addition modulo 5.
Let G be the group of all linear functions from the set of rational numbers to itself, together with the group operation of composition of functions ¤. Find two elements of G which
I. do not commute
II. do commute.

Jag tror om det är enklare att försöka parametrisera cirkeln x + y + z = 1, x^2 + y^2 + z^2 = 1 istället.

En strategi är som följer:

1) Hitta centrum c för cirkeln ifråga.
2) Hitta dess radie r.
3) Hitta två ortogonala enhetsvektorer a och [/b]b[/b]*i planet x + y + z = 0. (Då är alltså
c + a[/b] och c + b*punkter i planet x + y + z = 1.
4) Nu kommer uttrycket c + r cos θ a + r sin θ b parametrisera cirkeln ifråga.

5) Sen är det bara att optimera över θ.

Snyggt kommer det inte bli, men den här metoden borde vara fullt genomförbar.

Tack för svaret. Jag har dock inte kommit så långt fram så att jag räknar med pi osv.. Du skulle inte kunna förklara det på ett annat sätt?

Vad är B här? En slumpmatris? Om inte, vad betyder Pr[det B != 0]? Hursomhelst, eftersom B inte är kvadratisk, vad betyder det B?

Nej, jag är inte säker på att den idén funkar. Jag skulle göra såhär istället:

Vi vill alltså räkna ut fördelningen för dim ker(A). Eftersom
dim ker(A) = n - rk(A) så är det ekvivalent att räkna ut en fördelning för rk(A).

Låt N(r; k, n) beteckna antalet k x n-matriser (över GF(2)) med rang r. Det är detta vi vill räkna ut.

Säg att vi har k x n-matris av rang r. Detta betyder att de n kolonnerna i matrisen spänner upp ett delrum av dimension r. Det finns två fall:

(a) Antingen spänner de första n-1 kolonnerna i matrisen upp ett delrum av dimension r, eller
(b) så spänner de upp ett delrum av dimension r.

I fall (a) finns det N(r; k, n-1) möjliga sätt att välja de första n-1 kolonnerna. Den sista kolonnen måste väljas så att den är en vektor i det delrummet som spänns upp av de första n-1 kolonnerna (annars får hela matrisen rang r+1), så detta kan göras på 2^r. Totalt finns alltså 2^r N(r; k, n-1) olika matriser i fall (a).

I fall (b) finns det N(r-1; k, n-1) möjliga sätt att välja de första n-1 kolonnerna. Den sista kolonnen måste väljas så att den är en vektor som inte är i det delrummet som spänns upp av de första n-1 kolonnerna. Detta kan alltså göras på 2^k - 2^r sätt. Så totalt finns (2^k - 2^r) N(r-1; k, n-1) fall här.

Så vi får alltså rekursionsrelationen

N(r; k, n) = 2^r * N(r; k, n-1) + (2^k - 2^r) * N(r-1; k, n-1).

Det känns inte helt omöjligt att lösa denna för att få ett uttryck för N(r; k, n) på någorlunda sluten form. Gör man det är det lätt att räkna ut sannolikheten att en matris har en viss rang.

Tack för svar. Det där var något nytt för mig men jag ska se om jag kan förstå vad du menar. Jag fastnade lite halverst på en till: Bestäm största och minsta avstånd från origo till skärningslinjen mellan ytorna

x^2 + y^2 + 2z^2 = 4 och
x + y + z = 1

Vi ska alltså optimera F(x,y,z) = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) vilket ju är ekvivalent med att optimera f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2.

Ok, punkterna finns där de tre funktionernas gradienter är linjärt beroende och där f ligger på nivåytorna till bivillkoren (eller hur man nu ska uttrycka det). Jag tar determinanten för de tre gradienterna och får att det är ekvivalent med att x = y.

Det ger då följande ekvationssystem:

x^2 + y^2 + 2z^2 = 4
x + y + z = 1
x = y

Om jag löser detta så får jag följande kandidater:

f(1,1,-1) = 3 <=> F(1,1,-1) = sqrt(3)
f(-1/5,-1/5,7/5) = 51/25 <=> F(-1/5,-1/5,7/5) = sqrt(51)/5

Enligt facit så är den andra punkten minima, men det ska finnas ett maxima också, och det är inte till den andra punkt jag fått fram. Var tog den vägen? Vad förbiser jag?

Det här är ingen riktig uppgift utan bara en sak jag har funderat över ett tag.
Hur kvadrerar man 4x ? Det blir alltså (4x)^2, men hur går man vidare? Det blir ju antingen 16x^2, 16x, 4x^2. men jag kan inte se vilken det blir

mvh //halppls

Och...? Skall man visa att detta är en grupp?

(4x)^2 = (4x)(4x) = 4*4*x*x = 16x^2

G är en grupp. Man ska "Find two elements of G which
I. do not commute
II. do commute."