*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Låter nästan som att du blivit morfinberoende

Funktionen:

f(x) = x^(1/x)

Detta kan vi skriva om som:

x^(1/x) = e^(ln(x^(1/x))) = e^((1/x)ln(x)) = e^(ln(x)/x)

Denna är nu lättare att derivera. Anledningen till att vi gör denna omskrivningen är för att det helt enkelt blir lättare att derivera, vi vet att derivatan av e^(x) = e^(x)*D(x) = e^(x)*1 = e^(x), dvs sig själv multiplicerat med inre derivatan. Inre derivatan kommer att ges utav kedjeregeln. Jag kommer att skriva D(x) som derivatan av x, och kommer att skriva likadant för andra funktioner också.

Deriverar:

f'(x) = D(e^(ln(x)/x)) = e^(ln(x)/x)*D(ln(x)/x)

Där D(ln(x)/x) är den inre derivatan.

D(ln(x)/x) = (1-ln(x))/x²

, enligt kvotregeln. Jag deriverade ju den inre funktionen, eftersom vi skall multiplicera derivatan av den inre funktionen med den yttre derivatan.

Då är:

f'(x) = e^(ln(x)/x)*(1-ln(x))/x², vi kan förenkla lite till
f'(x) = x^(1/x)*(1-ln(x))/x²
f'(x) = (1-ln(x))*x^(1/x-2)

Men enligt uppgift är detta inte tillräckligt, vi vill veta, för x derivatan är lika med noll. Så vi, som matematiker, bestämmer att derivatan är lika med noll och kolla för vilka/vilket x detta är sant. För de x som satisfierar derivatan i likhet med noll så har vi antingen max-, min- eller terrasspuntker. För att veta vad just våran stationära punkt är kan vi använda ett teckenstudium.

Vi ansätter derivatan i likhet med noll:

(1-ln(x))*x^(1/x-2) = 0

Enligt nollproduktmetoden måste antingen 1-ln(x), eller x^(1/x-2) vara lika med noll, för att allt skall vara lika med noll. Men x^(1/x-2) kan aldrig bli lika med noll. Därför kan vi utföra divisionen med x^(1/x-2) på VL och HL.

Löser den i likhet med noll:

1-ln(x) = 0
1 = ln(x)
e^1 = e^ln(x)
e = x

Alltså har vi en max-, terrass- eller minimipunkt när x = e. För att kolla detta så finns det flera metoder, tex teckenstudium eller andraderivatan. Men vi kan anta att vår stationära punkt är en maximipunkt, för att uppgiften skall ha mening (det finns ju bara en enda).

Vi skall nu beräkna f(e), eftersom vi måste ha y-värdet för funktionen i vår maximipunkt.

f(x) = x^(1/x)
f(e) = e^(1/e)

Svar: Punkten (e, e^(1/e))

Inte för att vara sån men du syftar nog på dopamin.

Jag är ganska säker på att jag läst mig till att särskilt löpare kan börja utveckla morfin i kroppen varför de kan få ett sug till att springa ett pass extra. De blir beroende av löpningen. Men jag kan ha fel!

En egenpåkommen matteuppgift. Hur härleder man volymen för en kon?

V = π(r^2)h/3

När jag deriverar y = e^(-6x)(x - 2x^(2)) får jag
y' = -6e^(-6x)(x - 2x^(2)) + e^(-6x)(1 -4x) med kedjeregeln
hur förkortar jag det här på bästa sätt?

Och lös ekv sinx * cosx = 1/2
Förstår inte hur det kan förvandlas till 2sinx * cosx = sin2x

Ett område begränsas av kurvan y = 1/x^2 samt linjerna y = 1 och y = e får rotera kring y-axeln. Bestäm rotationskroppens volym.

Har börjat så här, med den sk skivmetoden:

Δv = pi * x^2 * Δy
Δv = pi * (sqrt(1/y))^2

Är det rätt?

Lite grundläggande:

Det här är en matris

a)

(2 4)

Det här är också en matris

b)

(1
2)

Men båda kan också vara vektorer? Så matris=vektor? Så vad skiljer sig a) och b) från varandra?
Vad för information om koordinater för vektorer får jag genom a) och b)?

a) är en radmatris, b) en kolonnmatris. Koordinaterna är siffrorna som anges, först x-led sen y-led.