*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

p^3 + (p+1)^2 < (p+1)^3 <=> 0 < 2p^2 + p <=> 2p^2 + p > 0 vilket är sant eftersom p ≥ 2?

Korrekt.

Visa att n^2 + 3^n < n^3 för n ≥ 0.

1) Det stämmer för n = 0.

2) Antag att p^(2) + 3^(p) < p^3

3) n = p+1 => p^2 + 3^p + (p+1)^2 + 3^(p+1) < p^3 + (p+1)^2 + 3^(p+1) enligt antagandet.

Vi vill visa att: p^2 + 3^p + (p+1)^2 + 3^(p+1) < (p+1)^3. Räcker det då inte att visa att p^3 + (p+1)^2 + 3^(p+1) > (p+1)^3?

Finns ett annat väldigt snyggt bevis av denna. Tänk dig att du har en kub med sidlängden n. Högersidan motsvarar då volymen av kuben. Tänk dig nu att du i kuben lägger ned en "platta" med sidan n och ger den höjden 1, den tar då upp volymen n^2. Därefter lägger du på ytterligare en "platta" med sidlängden "n-1" och höjden 1, den tar då upp volymen (n-1)^2. Om du fortsätter och lägga dessa plattor så kommer du tillslut att ha någon slags pyramid som ligger i kuben och eftersom volymen av pyramiden är VL och volymen av kuben är HL så är VL < HL

Domän=funktionen(utan bivollkor?) och sluten och begränsad mängd ser man genom att kolla C1, differentierbarhet osv? eller? :$

Du menar väl ändå f = v+Ψ(u) och f=x+y+Ψ(x-y)?
Vad vill du ha hjälp med?

Titta på grundfallet. n = 0 ger 0^2+3^0 < 0^3 ⇔ 1 < 0 vilket inte stämmer.

Det är fel, de får något med E upphöjt (integrerande faktor?) plus en till konstant.

Är något fel i uppgiften?

Ekvation: ∂²f/∂x² - ∂²f/∂y² = 2 ∂f/∂x - 2∂f/∂y

Sätt f(x, y) = g(u, v), där u=x-y, v=x+y. Vi får då

∂f/∂x = ∂g/∂u ∂u/∂x + ∂g/∂v ∂v/∂x = ∂g/∂u + ∂g/∂v
∂f/∂y = ∂g/∂u ∂u/∂y + ∂g/∂v ∂v/∂y = -∂g/∂u + ∂g/∂v

∂²f/∂x² = (∂(∂g/∂u)/∂u ∂u/∂x + ∂(∂g/∂u)/∂v ∂v/∂x) + (∂(∂g/∂v)/∂u ∂u/∂x + ∂(∂g/∂v)/∂v ∂v/∂x)
= (∂²g/∂u² + ∂²g/∂u∂v) + (∂²g/∂v∂u + ∂²g/∂v²) = ∂²g/∂u² + 2 ∂²g/∂u∂v + ∂²g/∂v²
∂²f/∂y² = -(∂(∂g/∂u)/∂u ∂u/∂y + ∂(∂g/∂u)/∂v ∂v/∂y) + (∂(∂g/∂v)/∂u ∂u/∂y + ∂(∂g/∂v)/∂v ∂v/∂y)
= -(-∂²g/∂u² + ∂²g/∂u∂v) + (-∂²g/∂v∂u + ∂²g/∂v²) = ∂²g/∂u² - 2 ∂²g/∂u∂v + ∂²g/∂v²

Ny ekvation:
4 ∂²g/∂u∂v = 2 ∂g/∂u

Dividera med 4 och lös (integrera) m.a.p. u:
∂g/∂v = (1/2)g + a(v),
där a(v) är en arbiträr funktion.

Denna har lösningen
g(u, v) = C(u) e^(v/2) + A(v),
där A(v) uppfyller A'(v) = (1/2) A(v) + a(v).
Men eftersom a(v) är arbiträr och okänd är även A(v) okänd och vi behöver inte bry oss om villkoret på A.

Detta ger
f(x, y) = g(x-y, x+y) = C e^((x+y)/2) + A(x+y).


Om vi i stället hade börjat med att lösa ∂(∂g/∂u)/∂v = (1/2) ∂g/∂u m.a.p. v:
∂g/∂u = c(u) e^(v/2)

Detta ger sedan via partiell integration (C' = c och (∂/∂u)e^(v/2) = 0):
g(u, v) = C(u) e^(v/2) + A(v)

Domän är den mängd som funktionen är definierad på. Sedan se här

Sluten mängd: https://sv.wikipedia.org/wiki/Sluten_m%C3%A4ngd
Begränsad mängd: https://sv.wikipedia.org/wiki/Begr%C3%A4nsad_m%C3%A4ngd

Det finns inget n så att n² + 3^n < n³, så det går inte att bevisa.