*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Basen är 3 för samtliga logaritmer i uppgiften, så man behöver inte krångla med omskrivningar mellan baser. De vanliga logaritmlagarna är tillämpbara rakt av.

Börjar med:
2log3(6) -log3(20) +log3(15) = log3(36) -log3(20) +log3(15) = log3(36*15/20) = log3(27)
men 27=3^3 så vi kan skriva:
log3(27)=log3(3^3)=3log3(3)=3

Tack så mycket ^^

Hitta stationära punkter till funktionen f(x,y)=(x^2+y^2)(xy+1).


Jag har deriverat:
f'x(x,y)=3x^2y+2x+y^3
f'y(x,y)=3y^2x+2y+x^3


Jag började med att faktorisera så att x(3xy+2+y^3) och fann att (0,0) är en lösning. Men sedan vet jag inte riktigt hur jag ska gå vidare för att hitta resterande? Tack!
Här är lösningen: http://www.wolframalpha.com/input/?i=3y%5E2x%2B2y%2Bx%5E3%2C+3x%5E2y%2B2x%2By%5E3

Dvs (0,0) (sqrt(0,5);-sqrt(0,5)) (-sqrt(0,5);sqrt(0,5))

Jag skulle hellre övergå till polära koordinater. Om x = r cos u och y = r sin u så övergår den i:

f(u,r) = (r^2 cos^2 u + r^2 sin^2 u)(r^2 cos u sin u + 1)
= r^2 * (r^2 sin(2u)/2 + 1)
= (1/2) r^2 (r^2 sin(2u) + 2)

Nu är det lättare att behandla.

Din utbrytning är felaktig. 3x^2y+2x+y^3 är inte samma som x(3xy+2+y^3). Dock är det ju ganska lätt att se på en gång att (x,y)=(0,0) löser båda ekvationerna. Men sen då? Kommer faktiskt inte vidare själv så här. Däremot kan jag lösa den på ett annat sätt:

Inför polära koordinater:
x = r cos(θ)
y = r sin(θ).
Då blir
x^2 + y^2 = r^2
x y = r^2 sin(θ) cos(θ) = r^2 sin(2 θ)/2
Så f(x,y) blir alltså
F(r,θ) = f(x,y) = r^2 ( r^2 sin(2 θ)/2 + 1)
Detta är samma funktion som f(x,y) fast uttryckt i polära koordinater istället för euklidiska. De stationära punkterna fås nu av villkoren ∂F/∂r=0 och ∂F/∂θ=0, dvs
1.... ∂F/∂r = 2 r^3 sin(2 θ) + 2 r = 2 r ( r^2 sin(2 θ) + 1 ) = 0
2.... ∂F/∂θ = 2 r^4 cos(2 θ) = 0

Fortfarande är det lätt att se att r=0 löser båda villkoren (vilket ger x=y=0). Men om r≠0 ger ekvation 2 att
cos(2 θ) = 0
som har 4 lösningar i -π < θ ≤ π, dvs
θ = ±π/4
θ = ±3π/4
Men löser någon av dessa även ekvation 1? Detta ger ett villkor på r. Det finns fyra θ att testa.
θ = π/4 och θ = -3π/4 ger båda att sin(θ)=1, varför ekvation 1 blir
2 r ( r^2 + 1 ) = 0
Detta har inga reella lösningar för r (utom r=0 som vi redan har).
Men θ = -π/4 och θ = 3π/4 ger båda att sin(θ)=-1 vilket ger
2 r ( -r^2 + 1 ) = 0
med den nya (dubbel-) roten r=1.

Vi har nu alltså tre lösningar:
i.... r = 0, dvs x = y = 0
ii... r = 1 och θ = -π/4, dvs x = 1/√2 och y = -1/√2
iii.. r = 1 och θ = 3π/4, dvs x = -1/√2 och y = 1/√2

-----

Edit: dxdp var visst före med samma idé. Borde kanske inte heller ha löst hela uppgiften. Frågan var ju om hur man kommer vidare.

Ekvationer med komplexa tal är verkligen inte min styrka. Någon som kan förklara denna ?

http://i.imgur.com/8AGDnoT.jpg

Tack.

Sätt z = a+bi så att z^2 = a^2-b^2 + 2abi nu kan du sätta upp ekvationssystemet:

a^2-b^2 = -1
2ab = sqrt3

eller detta ekvationssystemet som jag tror är lättare att lösa

a^2 - b^2 = -1
a^2 + b^2 = 2 (detta följer av att absolutbeloppen ska vara samma. Absolutbeloppet för z^2 i bilden du skickade är 2 och |a^2-b^2 + 2abi| = |z^2| = |z|^2 = a^2 + b^2)


lös detta och kom ihåg att a och b måste ha samma tecken så att imaginärdelen blir positiv

Skulle ha löst det med polär form och de Moivre, men det där är jäkligt snyggt.

Tack för er hjälp!! Däremot behandlas inte polära koordinater i delkursen jag läser. Det är inte heller något jag läst sedan tidigare, så jag förstår mig inte riktigt på vad ni skriver haha.

Nytt försök, utan polära koordinater! (Men din utbrytning är fortfarande fel). Du har alltså att
1.... ∂f/dx = 3 x^2 y + 2 x + y^3 = 0
2.... ∂f/dy = 3 x y^2 + 2 y + x^3 = 0
En lösning är ju iaf lätt att se direkt: x = y = 0.
Ickelinjära ekvationssystem kan vara svåra. Men pga funktionens symmetri mellan x och y kan det vara värt att testa vad som händer om man bara lägger ihop ekvationerna. Efter lite förenkling får vi
3.... 3 x y (x + y) + 2 (x + y) + x^3 + y^3 = 0
Ser nästan ut som (x+y) kan brytas ut, men hur är det egentligen med de två sista termerna? Jo då! Polynomdivision ger faktiskt
4.... x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 - x y + y^2)
(vilket ju iaf är lätt att verifiera genom att multiplicera in). Ekvation 3 ger alltså
(x + y) (3 x y + 2 + x^2 - x y + y^2) = 0
dvs
(x + y) (x^2 + 2 x y + y^2 + 2) = 0
Detta kan förenklas till
5.... (x + y) ((x + y)^2 + 2) = 0
med lösningar som ges av
6.... x + y = 0 eller (x + y)^2 + 2 = 0.
Det andra fallet ger komplexa lösningar x=-y±i√2 vilka är ointressanta för oss här.
Det första fallet däremot tillåter reella lösningar:
7.... y = -x
Sätt nu in detta i ekvation 1 (eller 2), vilket ger
8.... -3 x^3 + 2 x - x^3 = 0
vilket förenklas till
9.... 2 x ( 1 - 2 x^2 ) = 0
med lösningarna
i.... x = 0 och y = -x = 0
ii... x = 1/√2 och y = -x = -1/√2
iii.. x = -1/√2 och y = -x = 1/√2

-----

Edit: Blev fel först med de komplexa lösningarna (mellan ekv 4 och 7), som iofs ändå är ointressanta. Men fel är fel, och nu är det korrigerat.

Hej! Om man har lim t-> 0 för (sqrt((1/t^2) - 1) - 1/t * cost) / sin t - tan t. Måste man bryta ut 1/t^2 från roten ur tecknet för att kunna maclaurinutveckla? För visst får man inte maclaurinutveckla nu direkt eftersom det inuti roten ur tecknet inte går mot 0, därför måste man bryta ut den som dominerar, och sen kan man maclaurinutveckla?

GRYMT! Tack snälla för din tid