*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Jag gjorde om allt idag efter att ha fått en hel natts sömn och då löste jag den. Tack för tipset!

Vilket i dessa fall skulle vara nollmatrisen antar jag. Men är inte det trivialt? En matris med bara nollor har ju förstås trA=0 och detA=0.

[Beräknar först täljaren]
(-3+i√27)^87 har formen (a+bi)ⁿ. Själva a+bi kan också skrivas på formen r(cos v + i sin v) där r är radien och v är vinkeln.
r=√a²+b² <=> r=√(-3)²+(√27)² <=> r=√36 <=> r=6
v=arctan(b/a) <=> v=-60° (egentligen 120°, vilket man ser om man ritar upp ett Argand-diagram).

(-3+i√27) kan alltså skrivas som 6(cos 120° + i sin 120°). Med hjälp av de Moivres formel kan (-3+i√27)^87 skrivas som 6^87(cos 120°*87 + i sin 120°*87) <=> 6^87(cos 10440° + i sin 10440°).

[Beräknar vardera del i nämnaren för sig]
Antar att du med: ((3+i3)^86(i2)^42) menar ((3+3i)^86 * (2i)^42)
Eftersom båda anges på formen a+bi kan de skrivas om som r(cos v + i sin v).
(3+3i)^86 => r=√18, v=45°
(3+3i)^86 <=> √18^86(cos 45°*86 + i sin 45°*86) <=> 18^43(cos 3870° + i sin 3870°)

(2i)^42 <=> 2^42 * i^42 <=> 2^42 * (i²)^21 <=> 2^42 * (-1)^21 = -2^42

Hela nämnaren: ((3+3i)^86 * (2i)^42) <=> 18^43(cos 3870° + i sin 3870°) * -2^42

[Sammanställer allt]
6^87(cos 10440° + i sin 10440°)
-------------------------------
-2^42 * 18^43(cos 3870° + i sin 3870°)

[Primtalsfaktoriserar]

2^87 * 3^87(cos 10440° + i sin 10440°)
-------------------------------
-1* 2^43 * 3^43 * 3^43 * 2^42(cos 3870° + i sin 3870°)

<=>

2^87 * 3^87(cos 10440° + i sin 10440°)
-------------------------------
-1* 2^85 * 3^86(cos 3870° + i sin 3870°)

<=>

2² * 3¹ * (cos 6570° + i sin 6570°)
-------------------------------
-1

[Eftersom cos/sin (v+n*360°) = cos/sin (v) för alla heltal n]
cos(6570°) = cos(90°+18*360°) = cos(90°)]

-12cos(90° + i sin 90°) <=> -12i

Jovisst, det är fullständigt trivialt. Men, det är ju fortfarande nödvändigt att verifiera det även fast det är trivialt.

Behöver feedback på att härleda tangentplanets ekvation, flervarre. Säg gärna vad som är fel/dåligt. Säg gärna att det är godkänt om det är det.

Låt säga att jag vill bestämma tangentplanets ekvation i en punkt

P = (a, b, f(a,b))

på en yta

z = f(x, y).

Jag söker då två stycken kurvor på ytan som båda går genom punkten P.
En av kurvorna är när y = konst och x varierar,

Kurva: r₁(x) = (x, b, f(x, b))
Tangentvektor: r₁'(x) = (1, 0, f'(x, b))
Tangentvektor i P: u := r₁'(a) = (1, 0, f'(a, b))

den andra när x = konst och y varierar,

Kurva: r₂(y) = (a, y, f(a, y))
Tangentvektor: r₂'(y) = (0, 1, f'(a, y))
Tangentvektor i P: v := r₂'(b) = (0, 1, f'(a, b)).

Tangentvektorerna u och v är linjärt oberoende och spänner således upp ett plan.

Kryssar jag u med v får jag en normalvektor n till tangentplanet i punkten P,

u×v = // determinanträkning // ⇒ n = (-(∂f/∂x)(a, b), -(∂f/∂y)(a, b), 1).

Nu är

n•(x-a, y-b, z-f(a, b)) = 0

som jag inte förstår varför? Förstår att det troligtvis har något att göra med att skalärprodukten av två ortogonala vektorer är noll men förstår inte varför n och (x-a, y-b, z-f(a, b) skulle vara ortogonala?

Beräkningen av den skalärprodukten ger hur som helst tangentplanets ekvation

z = f(a, b) + (∂f/∂x)(a, b)(x - a) + (∂f/∂y)(a, b)(y - b).

Alla kommentarer jättevälkomna =)

Om man har en 4x3-matris, kan värderummet spännas upp av fyrdimensionella vektorer men nollrummet av tredimensionella?

Hur vet man på en funktion om det är en andra eller tredjegradsfunktion?
Jag är medveten om att om x är upphöjt till 2 är det en andragradsfunktion, om x är upphöjt till 3 är det en tredjegrads.. Men ibland kan det vara en tredjegradsfunktion fast det står x upphöjt till två, känner inte till regeln och vet alltså inte varför det är så. Hjälp någon?

Ett exempel är funktionen Y= 2x^2 + 10x. Detta är en andragradsfunktion
Ett exempel är funktionen Y= -3x^2 + 9x +2. Detta är en tredjegradsfunktion. Hur kan man se det?
Tack på förhand!

Nja
Y = -3x² + 9x + 2 är en andragradsfunktion, eftersom den största exponenten (upphöjningen) i funktionen är en tvåa.

Några exempel:
y = 5x³ + 2x - 4 är en tredjegradsfunktion, eftersom den största exponenten i funktionen är en trea.
f = 72x² - 3x + 12 är en andragradsfunktion, eftersom den största exponenten i funktionen är en tvåa.
g = 743x⁵ - 3x² + 7x⁴ - 7x³ + 16 är en femtegradsfunktion, eftersom den största exponenten i funktionen är en femma.

Bonus:
f = xⁿ + 4 är en n:tegradsfunktion, eftersom den största exponenten i funktionen är n.

Värderummet måste väl spännas upp av fyrdimensionella vektorer? Det är ju den mängd som utgörs av alla linjära transformationer Ax = b

Nollrummet spänns mycket riktigt upp av tredimensionella vektorer då de är de vektorer x som uppfyller Ax = 0

Hej FB,

Behöver hjälp med att lösa de här två uppgifterna.

1. Bestäm riktningskoefficienten k för den räta linje som går genom punkten (8,−5) och är vinkelrät mot linjen 13x+4y+4=0 Svara med ett förkortat bråktal k=a/b .

2. Beräkna arean av den triangel i xy-planet som har y-axeln som bas och har linjerna y=x−4 och x+2y−10=0 som kanter.

Punkten har ingen betydelse. Linjen 13x+4y+4=0 har riktningskoefficient -13/4, och linjen vinkelrät mot denna har riktningskoefficient -1/(-13/4) = 4/13.


Linjerna skär y-axeln i y = -4 respektive y = 5 (lösningarna till ekvationerna med x = 0 insatt).
Basens längd är alltså 9 enheter.

Höjden ges av x-värdet för skärningspunkten mellan linjerna. Ekvationerna ger
0 = x+2(x-4)-10 = 3x-18
dvs x = 6.

Arean är alltså 9*6/2 = 27 areaenheter.

Tack som fan!