Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
Prop: Let G be a finite group and V a representation of G. If W ⊂ V is a subrepresentation then there exists a complementary subrepresentation W' ⊂ V s.t V = W(+)W' as a vector space and as a representation of G.
Proof: Let U be an arbitrary subspace of V which is complementary to W, i.e V = W(+)U, and we have an associated projection f : V->W taking (w,u) to w. Define a new projection p:V->W by p(v)=Sum g(f(g^-1 v)). The map p is G-equivariant, i.e. p(gv)=gp(v). Thus ker p =: W' is an invariant subspace of V which is complementary to W.
För en given representation r:G-GL(V) vill vi alltså att r(g)(w') ska ligga i W'=ker p för alla w' i W'. Jag förstår inte hur det följer av konstruktionen av p eller att p är ekvivariant? Till att börja med vet jag inte hur p ens ska tolkas. Jag antar att med g^-1 v menar man r(g^-1)(v)∈V. Sen kommer f och projicerar den på W, dvs f(g^-1 v) = f(r(g^-1)(v)) =: w ∈ W. Slutligen gw = r(g)(w), och vart den hamnar vet ingen...
Om du håller med om att p är G-ekvivariant så följer det ganska enkelt att ker p är G-invariant: Antag att w' ∈ ker p. Vi vill visa att gw' ∈ ker p för godtyckligt g ∈ G. Men
p(gw') = gp(w') = g.0 = 0
och det följer alltså att gw' ∈ ker p'.
Angående varför p är G-ekvivariant så måste du komma ihåg summan också, som går över alla g i G. När du har förstått definitionen av p så är dte inte svårt att visa direkt att p(gv) = gp(v).
Och du har rätt i att när man skriver (element i G)(vektor i V) så menar man r(elementet i G)(vektorn i V).
