*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

I programmet Alltinget frågade en lyssnare ungefär så här: Man tänker sig ett band runt ekvatorn som är 6 378,1 km*3,14*2 = 40054,468 km. Hur mycket band fattas det för att nå runt ekvatorn om man lyfter bandet 1 meter runt hela jordklotet? I programmet sa man 6,28 m, dvs 2 pi. Låter alldeles för lite! Stämmer det?

Ja, det stämmer. Beteckna d som jordens diameter och O som omkretsen kring ekvatorn. Omkretsen blir alltså repets totala längd.

O₁ = πd

Vill vi att repet ligger 1 meter över marken och då kommer alltså diametern öka med 2 meter:

O₂ = π(d + 2) = 2π + πd

Differensen mellan dessa blir då: O₂ - O₁ = 2π + πd - πd = 2π och vi ser att det stämmer fint.

Ja det stämmer. Låt mig utveckla det med ett reducerat svar som är lättförståeligt.

Tänk dig att vi har en boll, den får representera jorden. Radien på den bollen är 1 istället för jordens radie som tydligen är 6378,1km. Men nu tittar vi ju på bollen som om den vore tvådimensionell, alltså som om det vore en cirkel, för det är ju allt vi behöver för att lösa problemet.

Vi har alltså en cirkel med radien 1. Omkretsen av den cirkeln är 2*1*pi = 2pi. Eftersom omkretsen av en cirkel är 2*r*pi och radien är ju 1. Om vi vill dra ett band runt den bollen behöver vi alltså ett band som är 2pi långt. Vad händer då om bollen ökar sin radie med 1? Så radien är 2?

Då är omkretsen 2*2*pi = 4pi.

4pi är ju 2pi mer än 2pi. Alltså ökar omkretsen med 2pi om radien ökar med 1.

Om bollens radie istället är 624 då? Hur gör vi då?

Radie innan ökning:

2*624*pi = 1248pi

Radie efter ökning:

2*625*pi = 1250pi

Som vi ser, 2pi mer.

Allmänt:
En cirkel med radie r har omkretsen 2πr.
Om radien är r+1 är omkretsen 2π(r+1) = 2πr+2π.

Skillnaden (subtrahering) mellan cirkeln med radien r och med radien r+1 är:

(2πr+2π)-2πr = 2π

Alltså skillnaden mellan omkretsen 2π. När radien ökar med 1, ökar omkretsen med 2π.

Aha, trodde det var en punkt. Tror jag kan lösa uppgiften nu då.. tack

I behov av hjälp gällande en uppgift.

Uppgiften lyder:
"Förklara varför det alltid måste bildas en osammanhängande graf (med två komponenter) om man tar bort en kant från ett träd." (Graf-teori).

Tack på förhand.

Nevermind. Jag löste den.

Ang jordens omkrets, så förstår jag de matematiska förutsättningarna och resonemanget.
Vad jag inte begriper är min inre bild av att man har drygt sex meter band extra, så lyfter man bandet en meter och det räcker runt hela klotet.

Tack för hjälpen!

Vad är det då du inte förstår? Då förstår du allt du behöver. Matematiken vi använder beskriver verkligheten i detta fall, det är alltså verkligheten beskriven med siffror. Det är inget annorlunda än verkligheten.

Ja det räcker, eftersom vi kan beskriva jordens omkrets med en sådan formel. Som jag och otrolig har bevisat så ökar omkretsen med cirka 6.28 när radien ökar med 1.

Var så god!

Ok, om jag säger så här, att jo, jag förstår hela köret, men det låter så otroligt att svaret endast blir 6,28 m. Mitt förnuft vill inte få till det, bara. Mitt förnuft, såvida jag nu har något, vill ha det till åtminstone i storleken några kilometer. Alltså om man bara tänker på rimligheten mellan tummen och pekfingret utan att räkna, liksom.

Ja men så är det! Du kan annars göra som fysikerna, gör ett experiment. Hitta en boll som har 1dm i radie, en annan boll som har 2dm i radie. Dra ett band runt dessa och mät bandens längd. Kolla skillnaden i längden.

Det är för att ditt förnuft har fel.

Ja men jag håller med dig, det känns intuitivt svårt att förstå. En hel meter runt hela jorden och bara 6 meter extra liksom, what =)
Men köp konceptet, så kommer du vänja dig vid tankesättet, sedan känns det inte konstigt alls.

Nu har jag resonerat lite med mitt förnuft och gjort om jordklotet till en kub med en sida på 6000 km. Helt plötsligt blev det mycket lättare att acceptera den lilla ökningen på 8 meter med samma resonemang som ovan. Säg nu inte bara att jag räknat fel! Alltså ett band runt min jordkub lyfts en meter och bandet saknar 8 meter för att räcka till.