Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
(1) I beviset (som skulle kopieras) så antar man (för att få motsägelse) att det finns en öppen cover av I som inte har någon ändlig subcover som också täcker I; jag vet inte om en cover kan ha flera subcovers, men säg att G_(a1),...G_(an) är den subcover som "täcker mest" av I. Jag är såklart helt ny för ämnet, men som jag förstår det så innebär det att det finns åtminstone ett element i I som inte täcks av subcovern jag nämnde, och till detta element svarar också I_n i I, som inte heller täcks. Det är det jag menar med att det är "självklart", och (om jag skrev ut hela beviset) det verkar självklart i beviset också. Är det inte, ja, då är jag körd.
Jag tror att du missförstår lite. G_(a1), ..., G_(an) är inte den subcover som täcker mest av I, vad ens det betyder.
Ja, en cover kan ha flera subcovers. Det finns inte ett element i I som inte täcks av
någon ändlig subcover; ty alla x ∈ I är i av minst ett G_b (detta är definitionen av att {G_a: a∈A} är ett cover), och detta G_b ensamt bildar då en subcover av x.
Poängen är istället att eftersom I är uppdelat i ändligt många mindre k-celler, Q_1, ..., Q_{2^k}
så måste det finnas en av dessa, kalla den Q_i, som inte täcks av
någon ändlig delcover till {G_a: a∈A}, dvs så att man inte kan hitta ändligt många mängder ur {G_a: a∈A}, t.ex. G_(a1), ..., G_(an), som täcker
Q_i. (Om alla Q_i kunde täckas av ändligt många G_a, så kan man ta alla dessa G_a; dessa bildar en ändlig delcover av I).
Jag tror det kan hjälpa att notera att en cover är en mängd av mängder av punkter. Eventuellt så kan det hjälpa att införa en ny notation för detta cover, t.ex. ett kursivt G. Konventionen är då att kursiva bokstäver betecknar saker som är "mängder av mängder av punkter" och raka versaler bara vanliga mängder, och gemener punkter. Då kan det vara lättare att hålla reda på vad "subcover" egentligen betyder.
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
(2) Skrev inte fel, men tog kanske med "fel" information. Det står även: "Show that there is an a in S such that a is in S_(an) for all n", vilket jag tolkar som ekvivalent med att snittet av alla S_(an) är icke-tom, vilket verkar analogt med Thm 1 (dvs, en avtagande sekvens av k-celler har icke-tomt snitt).
Ska tackla just den uppgiften alldeles strax, men vet nog inte hur jag ska bevisa det, ty det känns så självklart; ingen S_(an) är tom, och man får anta att den är avtagande med n. Om x ingår i S_(an), som i sin tur ingår i S_(a(n-1)), ja, då ingår ju x också i S_(a(n-1)), osv. Eller?
Nja, det är inte riktigt så självklart. Jämför t.ex. om vi låter J_n vara öppna intervall i ℝ, så att
J_n = (0, 1/n).
Inget J_n är tomt, följden J_n är avtagande med n. Men ändå är snittet av alla J_n tomt.
