Diverse bollande med nablaoperatorn

Några uppgifter som jag skulle behöva lite vägledning/lösningar på

1. Härled uttrycket:

Δ²(φψ)= φΔ²ψ + ψΔ²φ + 2Δφ punkt Δψ , där φ och ψ är skalära funktioner. Obs med symbolen Δ avses nabla!

Några formler jag har: Δ(φψ)= (Δφ)ψ + φΔψ
Δ²= ∂²/∂x² +∂²/∂y² + ∂²/∂y²


2. Härled följande uttryck:
ΔF(r) = d/dr F(r) r/r

och Δ punkt F(r) = r/r punkt d/dr F(r)

F(r) betyder att funktionen bara beror av avståndet r.

All sorts hjälp mottages tacksamt!

Derivera först partiellt m.a.p. x först en gång:
(∂/∂x)(φψ) = (∂φ/∂x) ψ + φ (∂ψ/∂x)
... sedan en gång till:
(∂²/∂x²)(φψ) = (∂/∂x)[(∂φ/∂x) ψ + φ (∂ψ/∂x)]
= (∂²φ/∂x²) ψ + 2 (∂φ/∂x) (∂ψ/∂x) + φ (∂²ψ/∂x²)

På samma sätt får vi
(∂²/∂y²)(φψ) = (∂²φ/∂y²) ψ + 2 (∂φ/∂y) (∂ψ/∂y) + φ (∂²ψ/∂y²)
(∂²/∂z²)(φψ) = (∂²φ/∂z²) ψ + 2 (∂φ/∂z) (∂ψ/∂z) + φ (∂²ψ/∂z²)

Detta ger
Δ²(φψ) = (∂²/∂x² +∂²/∂y² + ∂²/∂y²)(φψ)
= (∂²/∂x²)(φψ) + (∂²/∂y²)(φψ) + (∂²/∂z²)(φψ)
= [(∂²φ/∂x²) ψ + 2 (∂φ/∂x) (∂ψ/∂x) + φ (∂²ψ/∂x²)]
+ [(∂²φ/∂y²) ψ + 2 (∂φ/∂x) (∂ψ/∂y) + φ (∂²ψ/∂y²)]
+ [(∂²φ/∂z²) ψ + 2 (∂φ/∂z) (∂ψ/∂z) + φ (∂²ψ/∂z²)]
= [(∂²φ/∂x²) + (∂²φ/∂y²) + (∂²φ/∂z²)] ψ
+ 2 [(∂φ/∂x) (∂ψ/∂x) + (∂φ/∂x) (∂ψ/∂y) + (∂φ/∂z) (∂ψ/∂z)]
+ φ [(∂²ψ/∂x²) + (∂²ψ/∂y²) + (∂²ψ/∂z²)]
= (Δ²φ) ψ + 2 Δφ * Δψ + φ (Δ²ψ)


Börja med att bestämma Δr, utifrån r = √(x² + y² + z²).
Använd sedan kedjeregeln.

Tackar Det var ju inte svårt alls! Bara räknevanan som är bristfällig för min del.


Här är jag inte helt med:

blir Δr= (2x+y²+z²)^-(1/2) + (x²+2y+z²)^-(1/2) + (x²+y²+2z)^-(1/2) eller räknar jag helt åt pipan? Om jag har rätt, hur ska jag gå vidare med kedjeregeln?

Du räknar åt pipan.

(∂/∂x) r = (∂/∂x) √(x² + y² + z²) = (∂/∂x) (x² + y² + z²)^(1/2)
= (1/2) (x² + y² + z²)^(-1/2) * 2x [yttre derivata * inre derivata]
= x / √(x² + y² + z²) = x / r

Δr = ((∂/∂x) r, (∂/∂y) r, (∂/∂z) r) = (x/r, y/r, z/r) = (x, y, z) / r = r / r

Haha sådär dålig är jag inte på derivering, skyller på totalt jävla hjärnsläpp

Det är lätt att bli förvirrad och få hjärnsläpp när man inte riktigt känner igen en situation, även om uppgiften egentligen är i det närmaste trivial.

Överväg att använda indexräkning på första uppgiften så blir härledningen MYCKET kortare och du spar både blyerts och papper

Visar med indexräkning.

Derivera först partiellt m.a.p. x först en gång:
∂_i (φψ) = (∂_i φ) ψ + φ (∂_i ψ)
... sedan en gång till:
∂_i² (φψ) = (∂_i)[(∂_i φ) ψ + φ (∂_i ψ)]
= (∂_i²φ) ψ + 2 (∂_i φ) (∂_i ψ) + φ (∂_i² ψ)

Detta ger
Δ²(φψ) = ∑_i ∂_i² (φψ) = ∑_i [(∂_i²φ) ψ + 2 (∂_i φ) (∂_i ψ) + φ (∂_i² ψ)]
= [∑_i (∂_i² φ)] ψ + 2 [∑_i (∂_i φ) (∂_i ψ)] + φ [∑_i (∂_i² ψ)]
= (Δ²φ) ψ + 2 Δφ * Δψ + φ (Δ²ψ)

Här är ∂_i = ∂/∂x_i, med i = 1, 2, 3 och x_1 = x, x_2 = y, x_3 = z. Summationerna går därför förstås över i = 1, 2, 3.

Jag är nog inte riktigt på det klara med fortsättningen heller, tyvärr.

Var exakt fastnar du?


r = (x,y,z), alltså ortsvektorn till punkten (x,y,z)
r = |r| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2), beloppet av r eller 'längden' till punkten (x,y,z).

Vad?

∂_i F(r) = {yttre derivata = F'(r); inre derivata = ∂_i r} = F'(r) (∂_i r)
= F'(r) x_i / r

Δ F(r) = (∂_1 F(r), ∂_2 F(r), ∂_3 F(r)) = (F'(r) x_1 / r, F'(r) x_2 / r, F'(r) x_3 / r)
= F'(r) (x_1, x_2, x_3) / r = F'(r) r / r

Så uppgiften är löst då? Faen det här är ju inte precis svårt, men ovant. Blir nog att intensivplugga i helgen.

Hur blir del två då: Δ punkt F(r) = r/r punkt d/dr F(r) ?