oändliga tal ?

All matematik kan inte härledas från en samlin axiom. Varje axiomsystem är inte fullständigt vilket kan innebära att det finns oändligt antal axiom. Det har Kurt Gödel bevisat.

Hm ... det här låter mkt konstigt. Vilket av Gödels bevis tänker du på?

Jag vet inte vad beviset heter men det är just det han blev så känd för. Det kom upp en fråga om det gick att konstruera en dator som kunde lösa alla tänkabra matematiska problem och det Gödel visade var att oavsett hur stark och fullständigt ett axiomsystem än är så innehåller det satser som inom systemet inte kan avgöras om de är sanna eller falska. Så oavsett hur mycket regler man än matar in i datorn så måste människan förr eller senare hitta en ny utgångspunkt som gör att de redan datorinmatade satser vars sanninshalt är tveksam ger ett sannt/falskt utfall.

Så oavsett hur mycket regler man än matar in i datorn så måste människan förr eller senare hitta en ny utgångspunkt som gör de redan datorinmatade satser vars sanninshalt är tveksam ger ett sannt/falskt utfall

Är det där exempel på en sån där oavgörbar sats ?

Skämt å sido, (retas gärna tillbaks, bli inte arg bara) matematikens axiom är ju i sig inte bevisbara, de är fundamenten som matematiken bygger på, och dom är ju erfarenheter som vi alla är överrens om, som att delen alltid är mindre än det hela osv. Det är visst iaktagelsser från vilka ingen sett undantag och därför blir matematiken verklighetsbeskrivande. Matematik är egentligen bara avancerad stränghantering, det sägs inget nytt än det som axiomen innehåller, bara på nya sätt. Tänk på en lerklump, den kan formas på olika sätt men är fortfarande samma lera. Gödel visade på bristerna i sådana system. Sen är jag tveksam till om Gödels teori verkligen säger att somliga satser är oavgörbara, men att dom inte kan bevisas INOM axiomsystemet är en följd av axiomens obevisbarhet(det uppstår en paradox), så det gäller att vara noga med att välja axiom och just därför vill jag inte ha ett axiom som säger att för varje tal x finns ett tal x+1 innan man vet att det är så. Inom mängdläran har man ju accepterat just detta axiom, och det är en hörnsten inom den, men jag är skeptisk till resultaten just därför. Jag tycker "går mot oändligheten" är oändligt mycket bättre, he he.

Jo, jag har också sett det argumentet. Jag har svårt att riktigt koppla det till Gödels sats bara, men det kan ju lika gärna bero på min oförmåga som på att det skulle vara något fel på argumentet ...

Angående teorin som Gödel skulle ha lagt fram:

Jag tycker att det låter som att det är stopproblemet ("The Halting Problem") ni pratar om. Upphovsmannen till detta var Alan Turing.

Jag tror att stopproblemet är ekvivalent med den ena av Gödels ofullständighetssatser, den som säger ungefär;

I varje tillräckligt uttrycksfull axiomatiserad (och formaliserad) teori finns det satser som varken kan bevisas eller motbevisas utifrån teorins axiom.

Jag upptäckte just det själv!
Stopproblemet är bara et specialfall och jag halkade in på det för att man använde datorer som exempel.

Sorry! Och tack för tillrättavisningen!

Stopproblemet är ungefär följade:

Det går inte att med en turingmaskin i förväg avgöra huruvida maskinen någonsin kommer att stanna, givet ett visst input. Den enda möjligheten att avgöra det är att "starta" maskinen med det givna inputet och sedan se vad som händer. Problemet är att när vi har väntat i 1000 år på att maskinen ska stanna, så vet vi fortfarande inte om den kommer att stanna om 1 sekund eller om den aldrig kommer att stanna.

Det blev en ganska rörig förklaring ...

Det var inte menat som en tillrättavisning

Jag skulle hur som helst tacksamt ta emot en tillrättavisning (eller någon typ av förtydligande) vad gäller min röriga förklaring av stopproblemet. Framför allt är jag osäker när det gäller input. Det känns ganska självklart att jag vet att en turingmaskin kommer att stanna givet något (enkelt) input som jag kan titta på, så jag gissar att det som saknas i min förklaring framför allt är någon typ av restriktion på input

stopptesen är en konsekvens a Gödels oavgörbarhetsteorem. Men dom här oavgörbara satserna är otroligt sällsynta, kanske finns det ett ändligt antal sådana.
Innan Wiles löste Fermats förmodan (x^+y^n=z^n om n>2 saknar heltalslösningar)
trodde somliga att detta var en sån, men det verkar ju accepterat att Wiles har löst det, även om dom som förstår beviset i sin helhet kan räknas på ena handens fingrar. Det intressanta med gödels teori är ju att den antyder att det finns företeelser som inte går att förklara, kanske kommer inte alla naturens mysterier att bli lösta, oavsett vilka framsteg forkningen gör.