Fraktaler i irrationella dimensioner

I numberphile https://youtu.be/FnRhnZbDprE?si=37Ln8kOkv6H_egpZ pratar de om fraktaler och irrationella dimensioner och om hur en Sierpiński fraktal som fyller upp en tetraeder oväntat nog är tvådimensionell.

Finns det andra fraktaler vars dimensioner är heltal i högre dimensioner i så fall eller är det ett undantag bland figurer med irrationellt antal dimensioner? Går det att generalisera?

Absolut, t ex en linje är ju (topologiskt) 1D, men ju mer man skrynklar till den, desto högre fraktal dimension (t ex Hausdorf) får den. T ex den kända Kochs snöflinga har
D = ln(4)/ln(3) = 1.26...

Men skrynklar man till linjen tillräckligt mycket kan man få t ex en kurva som fyller upp ett helt plan, som alltså är 2D. Och om den är ÄNNU skrynkligare så kan den gå genom varje punkt i ett 3D-rum eller 4D, 5D, ...
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve

Numberphile:
https://youtu.be/x-DgL49CFlM?si=ZyZF8t4KrSO7X932

Men man kan förstås även utgå från skrynkliga 2D-ytor för fraktala dimensioner som är större än 2, och varför inte då även heltal...

--

En lite egen variant är om man gör samma sorts konstruktioner i Minkowskummet som används i relativitetsteorin, med tidsartade kurvor. Pga tidsdilatationen får sådana skrynkliga kurvor en dimension som är mindre än 1. På så sätt kan man fixa till en kontinuerlig Cantormängd!

På liknande sätt bör man även kunna skrynkla till en (topologiskt) 2D tidsartad yta så att dess fraktala dimension blir t ex 1.

Om man konstruerar en Sierpiński triangel i sju dimensioner och har en faktor av två totalt åtta delar som behövs blir det väl en fraktaldimension av tre?

Eller om man skulle ha n-hörningar med fem hörn eller fler i hyperbolisk geometri och placerar med en faktor av två mindre figurer som utgår från varje hörn blir de redan från dimension två högre fraktaldimension än ytan?

Låter rimligt. Du har alltså generaliserat mönstret som iaf funkar för 2 resp 3 topoplogiska dimensioner till 7. 1 del för varje hörn (8 st i 7D) plus en mitten del som är tom...
Känns bara som att jag vill fundera ett varv till på hur den där mittendelen ser ut, men ja, du kan absolut ha rätt.

Förstår just nu inte riktigt vad du menar.

Hur som gillar jag fortfarande många av dina uppslag.

Alltså tänk dig att du tar en pentagon och fyller den med fem pentagoner som har halva sidlängden. I Eukldidisk geometri passar de fem pentagonerna med halva sidlängden inte in i den större pentagonen med vinklarna och dessutom blir fem pentagoner (plus den tomma ytan i mitten av figuren) större yta än den ursprungliga pentagonen.

Jämför bilden här: https://www.researchgate.net/profile/Malek-Muhi/publication/322487282/figure/fig2/AS:685116225503232@1540355845296/Fig-1-The-Sierpinski-Pentagon-13.jpg

Men om det gick att placera in dem från hörn längs de yttre sidorna och i kontakt med varandra iterativt som en fortsatt fraktal skulle figurens yta växa för varje steg då den för en faktor av två i två dimensioner blir fem gånger större, förstår du nu vad jag menar?

Ja så en Sierpinski triangel i dimension (2^n)-1 borde få en fraktaldimension som är ett heltal gissningsvis. Ganska fascinerande men jag vet inte riktigt om det har någon nytta.

Då förstår jag vad du menar.

Men för att det där ska gå ihop som du vill, så måste man ha en positiv krökning, och resultatet blir då en dodekaeder, dvs en polyeder med 12 st pentagoner som sidor.

Positiv krökning --> överskottsvinkel när man plattar ut det.

Negativ krökning --> underskottsvinkel

Med t ex 3 st kvadrater mot samma hörn har man 90° för lite i planet, men det går ju att vika ihop till ett kubhörn. Men 5 kvadrater mot samma hörn funkar det med -- i ett negativt krökt 2D-plan. Beroende på förhållandet mellan sidlängd och krökningen kan man klämma in hur många kvadrater (eller pentagoner etc) man vill runt ett hörn.

Så till själva principen med din idé. Dvs utgå från någon regelbunden polygon, sätt ihop ett gäng runt varje hörn, men så hoppar vi över någon på ett liknande sätt som med Sierpinski.

Jag är skeptisk till att det skulle gå. T ex Sierpinski ser ju likadan ut på alla skalor, men så kan det ju inte bli i ett krökt rum där EN skala ges av rummets krökning.

----
Fast om man INTE försöker vika ihop sidorna i ditt exempel, utan håller sig till ett plant 2D-plan, så verkar det ju fungera.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/N-flake

Okej ja det jag menade var att som Sierpiński trianglar har en fraktaldimension som är lägre borde det gå att ha andra figurer som har högre fraktaldimension också, och det verkar innebära att storleken divergerar eller har jag förstått det fel?

Nä, men just i något krökt rum som t ex hyperbolisk geometri kan jag inte se att det går pga att en krökt geometri har en skala som ges av kröknlngsradien. En fraktal ska ju se likadan ut på olika skalor. Om man t ex dubblar längderna i en Sierpinskitriangel så ser det ju likadant ut överallt inuti den.

Fast om krökningen inte är konstant utan också varierar fraktalt kanske det går? Vet inte..

Placerar man en fraktal på ytan av ett klot till exempel varierar väl krökningen beroende på hur mycket man zoomar in?

Jag tänker på att i hyperbolisk geometri går det ju att konstruera polyedrar med n-hörningar med fler än fem hörn.

Jag förstod det. Problemet är att en fraktal ju ska se likadan ut på alla skalor, t ex om man zoomar in med en faktor 1000. Men ett rum med t ex konstant hyperbolisk krökning är s k asymptotiskt plan, på liknande sätt som att ju t ex jordytan ser platt ut på vår mänskliga skala som är någon miljon gånger mindre än hela jordens. T ex är ju ett varv runt jorden 40 miljoner meter långt.

Så på de minsta skolorna måste fraktalen ha en plan metrik, dvs inte krökt.

En ev möjlig utväg skulle kunna vara att skippa det där med KONSTANT krökning, så att själva rummet med dess krökning också är fraktalt. Typ som en ballong med små bubblor som har ännu mindre bubblor etc etc, fast nu alltså istället hyperbolisk geometri. Måste fundera lite på den.