"Pi finns överallt i naturen" - vart fan då?

Den endimensionella täthetsfunktionen integreras inte alls över en cirkel (eller sfär). Men ok, i 2D kan den ju skrivas som en produkt av två st 1D, som när man integrerar den lämpligen görs just i polära koordinater, och då blir det ju som du säger. Detta är väl f ö också det enklaste sättet att beräkna integralen av e^(-kx²).

Men so what liksom? Detta är ju då alltså bara om hur man räknar ut en integral på lättast sätt. Kvarstår faktumet att normalfördelningen har pi i sig, och att detta iaf i princip skulle kunna användas för att beräkna iaf ett par decimaler i pi från resultatet av statistiska experiment på sånt som förekommer i naturen.

Nyfiken fråga: Finns det möjligen någon vetenskaplig tillämpning på Baselproblemet? Enligt detta, som det finns flera olika mer eller mindre avancerade sätt att lösa matematiskt, är
1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ... = π²/6

Om t ex summan i vänsterledet motsvarar någonting i t ex fysik, så skulle ju detta vara ett sätt som π finns i naturen.

Oavsett ev vetenskaplig tillämpning så är den en spännande identitet imho. Vad i allsin dar gör pi DÄR?

Grattis! π har dykt upp där eftersom du valde att integrera på det sättet. Dessutom är π en grekisk bokstav som representerar kvoten O/Ø, en mänsklig konstruktion.
Denna summa representerar Riemanns zeta-funktion vid s = 2, och det har bevisats att den är lika med π²/6. Anledningen till att resultatet blir π²/6 beror på att Fourier-serier är uppbyggda av trigonometriska funktioner, vilket gör det förståeligt att π dyker upp i sammanhanget.

Oavsett hur man integrerar blir det samma resultat.

Fourier är bara en av flera möjliga sätt för just detta problem, vilket du kan se även på Wikipedia. Min fråga var inte alls hur man bevisar det, men även om man kan flera bevis så kan man ju känna en förundran över resultatet. Är inte det en del av tjusningen med matematik?

Kvarstår frågan om det finns någon vetenskaplig tillämpning för just detta resultat, t ex inom fysik. Inte om Riemann Zeta-funktionen i allmänhet utan just om ζ(2). Eller möjligen för något annat positivt jämnt heltal som ju också ger uttryck med pi.

Visst är det en del av tjusningen med matematik! Cirklar och sfärer är tacksamma att integrera över.

Eulers identitet e^(iπ) + 1 = 0 är ett vackert konstverk inom matematiken. Här förenas den naturliga logaritmen e, den imaginära enheten i, talet π, identitetselementet 1 och den tomma mängden 0. Genom att gå från polär till rektangulär form försvinner allt: z = re^(iρ) = a + bi.

Ja, Eulers identitet är ett bra exempel.

Men jag tänker även på något så enkelt att härleda som att en klotyta är exakt 4 gånger större än dess tvärsnittsyta, 4πr² jmf m πr². Om man alltså klipper ut en fjärdedel av badboll, så räcker det precis för att med lite klipp och klistrande skapa en cirkelskiva med samma diameter som badbollen hade innan. Eller om man tar 4 st cirkelskivor med samma diameter som ett klot, så räcker dessa för att precis täcka hela klotytan. Men försöker man detta i praktiken så märker man ju snabbt att det blir problem eftersom cirkelskivorna inte har den sortens ihåliga mössform som krävs för att passa på en klotyta. Man måste alltså klippa bort delar och sätta dem någon annanstans. Hur i allsin dar kan man då veta att de fyra lapparnas yta räcker eller inte är för mycket? Som sagt, bevisen för formlerna är t o m enkla, men när man tänker sig resultaten lite mer konkret så blir det ju rätt fascinerande.

Jag blev litet nyfiken och letade på kopplingar mellan basel problemet och verkligheten, hittade en del intressanta saker:

https://www.math.chalmers.se/~wastlund/Cosmic.pdf

Det finns en koppling till det ljus en punkt på en cirkels omkrets får från N styck ljuskällor på samma omkrets enligt länken ovan. Kanske kan vara intressant om man skall planera belysningen i en park tex.

Sen så dyker det upp i härledningen av brus i elektriska komponenter:

https://pearl-hifi.com/06_Lit_Archiv...st%20Noise.pdf

Sist men inte minst så har vi ju pi-teå....

Tack! Bra luskat och intressant!

Den första om belysning är ju klockren.
Den andra om brus kanske jag bara måste ägna mer tid åt, men var ser du Baselproblemet där?

Men Pi-teå är givetvis bästa bidraget so far.

På sista sidan, längst upp kör de en serieutveckling, vilket man nog kanske kan kalla fusk(?). 'serien har en skalfaktor men är annars av "baseltypen" ser det ut som.

Man kanske borde fira pi dagen i Pi-teå med en pi-zza, den är ju rund och god

Det är väl de tre punkterna som gör det?

Stämmer, de står för att fortsätta samma mönster i all oändlighet, och då kan man visa på några olika sätt att hela summan blir π²/6. Och nu har Chokladmums hittat två exempel om detta från verkligheten -- dvs "finns i naturen".

Edit: är nog bara ett exempel förresten.

Nja, det där är inte Basel utan den vanliga taylorutvecklingen
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ...

Men den där om lyktstolparna är ju klockren som sagt!

Angående "pi" finns det ett helt land som invånarna kallar för Republika ng Pilipinas. Borde ju ha sin nationaldag på pidagen!