Förklara ”mekaniken” i fouriertransformen för mig

Jag förstår grundtanken bakom fouriertransformen och har sett hur Euler’s identitet härleds genom Taylorserier för cos och sin.

Vad jag förstår är tanken att multiplicera huvudfunktionen med ett antal cosfunktioner för olika frekvenser för att utröna korrelationen mellan funktionen och en viss frekvens av cos. Integralen mellan dem ger vid hand ”hur mycket” av en given frekvens finns i huvudfunktionen, det ger då amplituden i frekvensplanet.

Sedsn gör man samma sak med sinusfunktioner där skillnaden i amplitud mellan cos och sinmultiplikationerna ger vid handen själva fasskiftningen av den givna frekvensen i huvudfunktionen.

Om jag inte är helt fel ute ovan, förstår jag fortfarande inte varför sinfunktionen måste ha j framför sig och existera i det imaginära planet.

På youtube tycker jag varken mark newman eller 3blue1brown förklarar denna ”mekanik” särskilt väl. De är annars fantastiska kanaler. I synnerhet 3blue1brown tycker jag har en helt sinnesrubbat svår förklaring i sin huvudvideo i ämnet när han plockar ut huvudfunktionen ur ett diagram och börjar snurra runt den i enhetscirkeln.

Det bästa att lära sig Fourier analys är följande serie
https://youtu.be/gZNm7L96pfY?si=8jFREteo4x1FgI6I

Lycka till.

Tack for at du försöker. Dessvärre säger han 25 min in i lektion två att han nu övergår till exponentiellt/komplext format och sedan kör han bara på med det utan att förklara varför det är bättre eller hur det funkar rent mekaniskt med att sinusdelen ska vara imaginär. Därmed kvarstår min ursprungliga fråga.

Denna video serie är gjorda för el ingenjörer. Fourier analys är ett stort ämne, man måste ha studerat funktional analys, distribution teori. Det han gör,är med ett minimum av förkunskaper, ger en bra förlängning av teorin. Varför komplexa tal? Det blir lättare att räkna med det. 3blue1brown gör även de bra videos, men det blir nästan matematik porr. Det är för elegant, ))) Följ serien iallafall till video 20. 2 om dagen, så 2 veckors arbete. 2 timmar video, 4 timmar gå igenom anteckningarna. Mer än 6 timmar intensiv matematik klarar, iallafall inte jag om dagen.

Jag vet ej hur långt de går i dessa lektioner men Fourieranalys är Matematik 3 på universitet, under Analytiska funktioner, IIRC. Distributionsteori är långt över det. "Praktiska" ingenjörslinjer möter nog Fourieranalys tidigare, utan krav på den exakta teorin. Fast saker kan han ändrats sedan jag satt i skolbänken…

Fourier analys används även inom finansiell matematik, för mig år 5. Jag använde så många timmar för att förstå duala rum, konvergens i medelkvadrat, oändligt delbara funktioner, men denna kurs är strax efter komplex analys, år 3.

Om Fourieranalys, och dess bakgrund:

Om du tittar på en signal vilken som helst i ett oscilloskop, eller tex i ett ljudprogram så ser du en taggig kurva. Denna kurva får du om du lägger ihop en massa sinus- och cosinus-vågor ovanpå varandra.
Alltså harmoniska svängningar.
Tex gitarrsträngar som vibrerar.
Alla naturliga fenomen som uppvisar harmoniska svängningar
kan analyseras som sammanlagda svängningar.
I musiken kan de ofta kallas övertoner.

Totalsignalen S kan skrivas som (v = vinkeln), bara sinusdelen tas med här:
S(v) = A1 x sin((a1 x v) + b1) + A2 x sin((a2 x v) + b2) + A3 x sin((a3 x v) + b3) ++++....
Serien fortsätter alltså i all oändlighet....

A1, A2, A3 är amplituden
a1, a2, a3 är vinkelmultiplikatorn
b1, b2, b3 är fasförskjutningen

Samma som för cosinusdelen.

Fourieranalys går ut på att dela upp en sammansatt vågform i dess grundkomponenter,
dvs summorna av sinus- och cosinus-funktioner.
Man tar alltså reda på de enskilda trigonometriska funktionerna och karakteriserar dem.

Både amplitud, frekvens, frekvensmultiplikator, eller vinkel och vinkelmultiplikator
och sist men inte minst fasförskjutningen.

Fourieranalysen innebär alltså att man nystar upp detta virrvarr av sammanlagda funktioner.
Och tar reda på dess delkomponenter.

Det är dock inte alla vågor som har perfekt sinus-karakteristik, tex i elektroniska komponenter kan de bli "skeva", dvs tex början av kurvan blir brantare än vad den skulle bli rent matematiskt.
Vilket man kan se på tex transistorer, triacs och tyristorer.

Det går dock att korrigera för dessa fenomen.

För den grundläggande Fourieranalysen så behövs inte komplexa tal eller exponentiella funktioner men de kan underlätta räknandet en hel del.

Det går dock att använda komplexa tal rätt praktiskt i växelströmsläran.

Eftersom totalsignalen innehåller en hel del brus i vissa fall så har de flesta program och algoritmer funktioner för att sortera bort det som är bruset.
Det finns alltså en övre gräns för hur djupt Fourier-algoritmen ska analysera, annars får datorn hålla på att tugga i evigheter.
Det börjar då också bli problem med precisionen i beräkningarna att man måste öka precisionen i varje beräkningssteg för att kunna analysera djupare.

Lite historik:

Fourieranalys har en intressant historia. För att USA skulle kunna hålla reda på alla sovjetiska atomubåtar under "Kalla Kriget" (*), så kom man på att spela in deras propellerljud på ljudband. Dessa togs till land och man spaltade upp ljudsignalen och analyserade med Fourieranalys. Exakt hur man gick tillväga är ju inte känt, men uppgiften kunde köras parallellt på många datorer samtidigt. Ett stort hinder ska visst ha varit just precisionen i beräkningarna. Vilket i sin tur blev anledningen till att man så snabbt drev på utvecklingen av 64bits CPUer, och tex 80bits FPUer.
USAs militär fick utveckla helt egna ljudkort, nåja de var egentligen inte kretskort. Utan program istället som utförde A/D-omvandlingen.
Ljudkorten i vanliga datorer är en direkt följd av detta behov att analysera komplicerade ljudprofiler.
Som i sin tur har gett upphov till röstigenkänning mm...

Ljudkortens samplingsfrekvens på 44,1 kHz, 48 kHz och 96 kHz har jag för mig handlar om begränsningar hos tex mikrofoner och andra ljudenheter.
Att standardmikrofoner kan i regel inte prestera så mycket bättre.

NB: Ovanstående summaformel för S är starkt förenklad, men det blir annars för mycket text att skriva här. Hoppas ni förstår tanken ?

Fourieranalys har haft och har stor betydelse i all signalbearbetning, filterkonstruktioner osv.

(*) Sovjetunionen kan ha haft så många som upp till 220 atomubåtar i drift samtidigt under "Kalla Kriget". En enorm slagstyrka alltså. Detta i jämförelse med de troligen drygt 60 som USA hade i drift under samma period.
Antalet är förstås hemligstämplat.
Men å andra sidan så hade ju Sovjetunionen en mycket längre kuststräcka att bevaka och betydligt större kustvattenarealer. Vi vet inte heller hur ofta Sovjet var tvungna att ta in sina
ubåtar på service heller ?

Tack för svaren gubbar, kul att det blivit liv i tråden och intressant att läsa om historiken. Dessvärre skjuter ni alla bredvid målet i det här fallet... Det jag avsåg fråga specifikt är om någon kan förklara (1) var den imaginära komponenten kommer ifrån - plötsligt går man från Fourierserie till transform och det är e-(jwt) som gäller. Varför ska sinuskomponenterna vara imaginära? Skulle vilja förstå detta fullt ut. (2) I den mån den enda anledninen är att den komplexa matematiken blir enklare, finns det exempel någonstans där man kan se samma beräkning med/utan exponential sida vid sida?

Det blir lättare att räkna, om man använder komplexa tal. Som min professor sa; imaginära tal är reella. Låter bättre på engelska))) på fråga 2:
Nej. Om du tittar på FFT, så kan du arbeta med reella tal, när du använder Romberg kvadraturen, för att få en tätare sampling

Ja, det är alldeles rätt. De komplexa talen är lättare att räkna med. Särskilt märker man det i växelströmsläran.
Om man inför en exponentiell eller logaritmisk komponent är syftet oftast att "expandera" eller "trycka ihop" intervallen man hanterar så att de blir hanterbara.
Samt lättare att åskådliggöra. Det blir obekvämt att visa dessa i diagram.

När det gäller ljud så är den ofta använda logaritmiska enheten dB, decibel. 30 dB svarar mot hela 1000 ggr mera i effektnivå. Det blir opraktiskt att prata om 1000/10 000/100 000 ggr mera i effekt (ljudstyrka) , istället blir det 30 dB, 40 dB eller 50 dB.

Sorry, men annars är rätt dåligt uppdaterad på området inom FFT.

Man kan dra FFT till sin spets att tänka sig att man har en signal S(v) som ger en helt rät linje.
Vilket då teoretiskt innebär att en uppspaltning genom FFT slutar i ett oändligt antal sinus- och cosinus-kurvor som ligger ovanpå varandra.
Där värdena på vinkelmultiplikatorn och fasförskjutningen alltså blir till okända storheter.

FFT blir då omöjligt att genomföra eftersom dessa värden kan vara vilka som helst.
Lösningsmängden av dessa delfunktioner blir alltså oändligt stor.
Så FFT passar inte alltid för alla typer av signaler.

Teoremen om att alla naturliga signaler i grunden är sinus- och cosinus-funktioner kommer i sin tur ifrån vågrörelseläran.

Hej på er, ledsen för fördröjningen, inte varit aktiv här på ett tag. Tack igen för att ni tar er tid att skriva och dela kunskaper. Kan någon peka ut ett existerande exampel på samma beräkning utför med/utan konplexa exponentialer där det framgår hur mycket enklare det blir med komplexa tal?

Jag tänker mig att komplexa tal tillåter att man gör båda beräkningarna samtidigt utan att det är någon risk för att man blandar ihop svaren. Cos-delen är helt enkelt realdelen och sin-delen är imaginärdelen.

Dessutom är det i flera fall lättare att integrera mot exponentialfunktioner än mot trigonometriska funktioner.