En ljudvåg i ett flödande medium kan beskrivas:
(∂/∂t+v(r, t)·∇)²Φ(r, t)
där:
∇={∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z}
r={x, y, z}
v(r, t)=Mediumets flödeshastighet
Φ(r, t)=Tryckskillnad i förhållande till mediumet
Med Minkowskimetrik får man:
c²∇²Φ(r, t)
där:
c=Ljudvågens hastighet i förhållande till mediumet
Mediumets flödeshastighet och ljudvågens hastighet förhåller sig till varandra på något sätt som kan beskrivas med koordinater. Om man skulle anta en homogen och kontinuerlig flödeshastighet så kan man beskriva ljudets hastighet med en planvåg som:
Φ(r, t)=A sin(k·r-ωt)
ω(k, v)=c|k|+v·k
Ljudvågens grupphastighet blir då:
v_grupp=∇ₖ ω(k, v)=ck_hatt+v
Ljudvågens grupphastighet och mediumets flödeshastighet relativt en observatör innebär att ljudets hastighet i riktning k_hatt är c, relativt mediumet.
Två observatörer skulle med Galileisk relativtism förhålla sig till varandra med:
x'=x-Vt
t'=t
y'=y
z'=z
Med relativ rörelse längs x:
∂/∂t=∂/∂t'-V∂/∂x
∂/∂x=∂/∂x'
∂/∂y=∂/∂y'
∂/∂z=∂/∂z'
En andra observatör med en hastighet relativt den första skulle då observera:
(∂/∂t'+v'(r', t')·∇')²Φ'(r', t')
med Minkowskimetrik:
c²∇'²Φ'(r', t')
Detta när:
Φ'(r', t')=Φ(r, t)
Då är det bara när en observatör är i vila i förhållande till ett homogent mediums kontinuerliga flödeshastighet, v(r, t), som v' försvinner.
Definierat med andra koordinater:
T=γ(v)((1-v²/c²)t+vx/c²)
X=γ(v)x
Y=y
Z=z
där:
γ(v)=1/√(1-v²/c²)
Då får man:
∂/∂t=γ(v)(1-v²/c²)∂/∂T
∂/∂x=γ(v)(v/c² ∂/∂T+∂/∂X)
∂/∂y=∂/∂Y
∂/∂z=∂/∂Z
Med definitionen:
∇_streck={∂/∂X, ∂/∂Y, ∂/∂Z}
så får man med kontinuerligt flöde hos ett homogent medium:
(∂/∂T)²Φ_streck(R, T)=c²∇_streck²Φ_streck(R, T)
där:
R={X, Y, Z}
och:
Φ_streck(R, T)=Φ(r, t)
Nu har mediumets flödeshastighet plötsligt försvunnit in i koordinaterna och ekvationen:
(∂/∂T)²Φ_streck(R, T)=c²∇_streck²Φ_streck(R, T)
blir kovariant, med transformationen:
T'=γ(V)(T+VX/c²)
X'=γ(V)(X-VT)
Y'=Y
Z'=Z
Så för en observatör som använder dessa koordinater så försvinner mediumets flödeshastighet och ljusets, förlåt, ljudets hastighet, alltid är c och är därför invariant!
Vill man så kan man utifrån detta skapa en "rumtid" som:
ds²=c²dT²-dR², kanske med någon form av koner längs ds², om man nu inte är så brydd om att kunna särskilja mellan rum och tids-lika intervall, det vill säga.
Vad man skulle kunna göra då är att istället för att definiera Maxwells källfria ekvationer, vilka är:
∂²E/∂T²=c²∇_streck²E
och:
∂²H/∂T²=c²∇_streck²H
så skulle man kunna bryta ut det underliggande mediumet som försvann med de nya koordinaterna, vilket bör ses som motiverat då Maxwells tidsderivata är i förhållande till detta, vilket skulle kunna vara:
μ(∂/∂t+v·∇)H=-∇×E
ε(∂/∂t+v·∇)E=+∇×H
∇·H=0
∇·E=0
om v(r, t) vore relativt ett vanligt tredimensionellt rum med koordinater {t, x, y, z}.
Från detta skulle en observatör i vila relativt ett kontinuerligt och homogent flödande medium beskriva en elektromagnetisk planvåg som:
E(r, t)=E₀e^i(k·r-ωt)
H(r, t)=H₀e^i(k·r-ωt)
ω(k, v)=c|k|+v·k
när:
c=√(με)
Då får man den elektromagnetiska grupphastigheten:
v_em=∇ₖ_vektor ω(k, v)=ck_hatt+v
vilket innebär att c är relativt det tredimensionella rummet och inte observatören.
För en observatör i vila i förhållande till ett kontinuerligt flödande medium så blir Maxwells källfria ekvationer:
(∂/∂t+v·∇)²E=c²∇²E
(∂/∂t+v·∇)²H=c²∇²H
med:
∇×(∇×E eller H)=-∇²E eller H+∇(∇.E eller H)
när:
∇.E eller H=0
Detta är då kovariant under Lorentztransformation med Minkowskimetrik, med ovannämnda Maxwells källfria ekvationer:
∂²E/∂T²=c²∇_streck²E
och:
∂²H/∂T²=c²∇_streck²H
vilket är detsamma som:
μ(∂/∂t+v·∇)H=-∇×E
ε(∂/∂t+v·∇)E=+∇×H
∇·H=0
∇·E=0
men vilka är kovarianta under Galileisk transformation.
Vad man då kan göra med Faradays lag:
∇×H=∂D/∂t+j
och Amperes lag:
-∇×E=∂B/∂t
är att förhålla dessa till ett flödande medium genom:
∇×H=∂D/∂t+v·∇D+j
och:
-∇×E=∂B/∂t+v·∇B
för att få absolut derivata istället för partiell, med:
∇×H=dD/dt+j
och:
-∇×E=dB/dt
vilket är invariant under Galileisk transformation.
Tillsammans med potentialekvationerna:
-E=∇φ+∂A/∂t
med:
B=∇×A
som istället blir:
-E=∇φ+dA/dt=∇φ+∂A/∂t+v·∇A
vilket som källfritt i förhållande till en observatör i vila blir:
∇×H=dD/dt
och:
-∇×E=dB/dt
Man kan även formulera en impuls från en källfri elektrisk fältekvation i dissipativa medium, när E=0, H=0 och t< eller =0, från:
∇×H=ε(∂E/∂t)+σE
-∇×E=μ(∂H/∂t)+sH
ε∇·E=0
μ∇·H=0
där:
σ=Specifik elektrisk ledning
s=Specifik magnetisk ledning
som:
ΔE-με(∂²E/∂t²)-(μσ+εs)∂E/∂t-sσE=0
vilken även säger att det liksom för magnetiska källor inte heller existerar någon enskild elektrisk källkomponent.
Detta, samtidigt som E och H-fälten inte kan användas med fyrvektorer, då alla tidsberoende termer försvinner in i definitionen av "c", varför man istället använder sig av potentialer och laddningsdensitet. Detta med händelsevektorn:
X=ict+x
vilket innebär det definierat invarianta rumtidsintervallet:
√(dx₁dx₁+dx₂dx₂+dx₃dx₃-c²dt²)=ds
och:
√(dt²-(1/c²)(dx₁dx₁+dx₂dx₂+dx₃dx₃))=i/c√(dx_μ dx_μ)=dt_proper
Då beskrivs fyrhastigheten med:
V=1/√(1-(v²/c²))(ic+v)=dX/dt_proper
vilket beskriver strömdensitet som:
J=ρ₀/√(1-(v²/c²)(ic+v)=ρ₀V
Fyrgradientoperatorn av detta tillsammans ger kontinuitetekvationen:
-∂ρ/∂t=∇·j
Fyrdimensionell vektorpotential, definierad som:
A=iφ+A
blir tillsammans med D'Alemberts operator:
(∇²-(1/c²)(∂/∂t²))A
vilket definierar:
(1/c)J
Så för att formulera Faradays lag:
∇×H=∂D/∂t+j
och Coulombs lag:
∇·D=-ρ
så kräver E och B-fälten att tillskrivas utgöras av ett par definierat ortogonala vektorpotential-vektorer i samma dimension, vilket strömdensitetstermen beror på, så:
∂((∂A∥/∂x⊥)-(∂A⊥/∂x∥))/∂x∥=(1/c)J⊥
Dessa tar naturligtvis ut varandra och blir 0 samt tillskrivs utgöras av koordinater i det imaginära planet och dyker därför upp från ingenstans och försvinner igen.
På så sätt kan Lorentzkraften definiera momentum, dp/dt, med:
qE+q/c(V×B)
genom att låta E och B utgöra varandras motparter och transformeras till varandra, för att istället för att transformera Maxwells ekvationer få momentum när man bara byter ut E och B mot varandra, då till att bli fluxdensiteten i endast den observerade dimensionen där Lorentzgaugen antar perfekt proportion mellan E och B, vilket man inte har.
Då ett momentum i kvadratform, definierad med ett rumtidsintervall av blandad tid och rum, trots att detta är vad Maxwells ekvationer definieras med.
(∂/∂t+v(r, t)·∇)²Φ(r, t)
där:
∇={∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z}
r={x, y, z}
v(r, t)=Mediumets flödeshastighet
Φ(r, t)=Tryckskillnad i förhållande till mediumet
Med Minkowskimetrik får man:
c²∇²Φ(r, t)
där:
c=Ljudvågens hastighet i förhållande till mediumet
Mediumets flödeshastighet och ljudvågens hastighet förhåller sig till varandra på något sätt som kan beskrivas med koordinater. Om man skulle anta en homogen och kontinuerlig flödeshastighet så kan man beskriva ljudets hastighet med en planvåg som:
Φ(r, t)=A sin(k·r-ωt)
ω(k, v)=c|k|+v·k
Ljudvågens grupphastighet blir då:
v_grupp=∇ₖ ω(k, v)=ck_hatt+v
Ljudvågens grupphastighet och mediumets flödeshastighet relativt en observatör innebär att ljudets hastighet i riktning k_hatt är c, relativt mediumet.
Två observatörer skulle med Galileisk relativtism förhålla sig till varandra med:
x'=x-Vt
t'=t
y'=y
z'=z
Med relativ rörelse längs x:
∂/∂t=∂/∂t'-V∂/∂x
∂/∂x=∂/∂x'
∂/∂y=∂/∂y'
∂/∂z=∂/∂z'
En andra observatör med en hastighet relativt den första skulle då observera:
(∂/∂t'+v'(r', t')·∇')²Φ'(r', t')
med Minkowskimetrik:
c²∇'²Φ'(r', t')
Detta när:
Φ'(r', t')=Φ(r, t)
Då är det bara när en observatör är i vila i förhållande till ett homogent mediums kontinuerliga flödeshastighet, v(r, t), som v' försvinner.
Definierat med andra koordinater:
T=γ(v)((1-v²/c²)t+vx/c²)
X=γ(v)x
Y=y
Z=z
där:
γ(v)=1/√(1-v²/c²)
Då får man:
∂/∂t=γ(v)(1-v²/c²)∂/∂T
∂/∂x=γ(v)(v/c² ∂/∂T+∂/∂X)
∂/∂y=∂/∂Y
∂/∂z=∂/∂Z
Med definitionen:
∇_streck={∂/∂X, ∂/∂Y, ∂/∂Z}
så får man med kontinuerligt flöde hos ett homogent medium:
(∂/∂T)²Φ_streck(R, T)=c²∇_streck²Φ_streck(R, T)
där:
R={X, Y, Z}
och:
Φ_streck(R, T)=Φ(r, t)
Nu har mediumets flödeshastighet plötsligt försvunnit in i koordinaterna och ekvationen:
(∂/∂T)²Φ_streck(R, T)=c²∇_streck²Φ_streck(R, T)
blir kovariant, med transformationen:
T'=γ(V)(T+VX/c²)
X'=γ(V)(X-VT)
Y'=Y
Z'=Z
Så för en observatör som använder dessa koordinater så försvinner mediumets flödeshastighet och ljusets, förlåt, ljudets hastighet, alltid är c och är därför invariant!
Vill man så kan man utifrån detta skapa en "rumtid" som:
ds²=c²dT²-dR², kanske med någon form av koner längs ds², om man nu inte är så brydd om att kunna särskilja mellan rum och tids-lika intervall, det vill säga.
Vad man skulle kunna göra då är att istället för att definiera Maxwells källfria ekvationer, vilka är:
∂²E/∂T²=c²∇_streck²E
och:
∂²H/∂T²=c²∇_streck²H
så skulle man kunna bryta ut det underliggande mediumet som försvann med de nya koordinaterna, vilket bör ses som motiverat då Maxwells tidsderivata är i förhållande till detta, vilket skulle kunna vara:
μ(∂/∂t+v·∇)H=-∇×E
ε(∂/∂t+v·∇)E=+∇×H
∇·H=0
∇·E=0
om v(r, t) vore relativt ett vanligt tredimensionellt rum med koordinater {t, x, y, z}.
Från detta skulle en observatör i vila relativt ett kontinuerligt och homogent flödande medium beskriva en elektromagnetisk planvåg som:
E(r, t)=E₀e^i(k·r-ωt)
H(r, t)=H₀e^i(k·r-ωt)
ω(k, v)=c|k|+v·k
när:
c=√(με)
Då får man den elektromagnetiska grupphastigheten:
v_em=∇ₖ_vektor ω(k, v)=ck_hatt+v
vilket innebär att c är relativt det tredimensionella rummet och inte observatören.
För en observatör i vila i förhållande till ett kontinuerligt flödande medium så blir Maxwells källfria ekvationer:
(∂/∂t+v·∇)²E=c²∇²E
(∂/∂t+v·∇)²H=c²∇²H
med:
∇×(∇×E eller H)=-∇²E eller H+∇(∇.E eller H)
när:
∇.E eller H=0
Detta är då kovariant under Lorentztransformation med Minkowskimetrik, med ovannämnda Maxwells källfria ekvationer:
∂²E/∂T²=c²∇_streck²E
och:
∂²H/∂T²=c²∇_streck²H
vilket är detsamma som:
μ(∂/∂t+v·∇)H=-∇×E
ε(∂/∂t+v·∇)E=+∇×H
∇·H=0
∇·E=0
men vilka är kovarianta under Galileisk transformation.
Vad man då kan göra med Faradays lag:
∇×H=∂D/∂t+j
och Amperes lag:
-∇×E=∂B/∂t
är att förhålla dessa till ett flödande medium genom:
∇×H=∂D/∂t+v·∇D+j
och:
-∇×E=∂B/∂t+v·∇B
för att få absolut derivata istället för partiell, med:
∇×H=dD/dt+j
och:
-∇×E=dB/dt
vilket är invariant under Galileisk transformation.
Tillsammans med potentialekvationerna:
-E=∇φ+∂A/∂t
med:
B=∇×A
som istället blir:
-E=∇φ+dA/dt=∇φ+∂A/∂t+v·∇A
vilket som källfritt i förhållande till en observatör i vila blir:
∇×H=dD/dt
och:
-∇×E=dB/dt
Man kan även formulera en impuls från en källfri elektrisk fältekvation i dissipativa medium, när E=0, H=0 och t< eller =0, från:
∇×H=ε(∂E/∂t)+σE
-∇×E=μ(∂H/∂t)+sH
ε∇·E=0
μ∇·H=0
där:
σ=Specifik elektrisk ledning
s=Specifik magnetisk ledning
som:
ΔE-με(∂²E/∂t²)-(μσ+εs)∂E/∂t-sσE=0
vilken även säger att det liksom för magnetiska källor inte heller existerar någon enskild elektrisk källkomponent.
Detta, samtidigt som E och H-fälten inte kan användas med fyrvektorer, då alla tidsberoende termer försvinner in i definitionen av "c", varför man istället använder sig av potentialer och laddningsdensitet. Detta med händelsevektorn:
X=ict+x
vilket innebär det definierat invarianta rumtidsintervallet:
√(dx₁dx₁+dx₂dx₂+dx₃dx₃-c²dt²)=ds
och:
√(dt²-(1/c²)(dx₁dx₁+dx₂dx₂+dx₃dx₃))=i/c√(dx_μ dx_μ)=dt_proper
Då beskrivs fyrhastigheten med:
V=1/√(1-(v²/c²))(ic+v)=dX/dt_proper
vilket beskriver strömdensitet som:
J=ρ₀/√(1-(v²/c²)(ic+v)=ρ₀V
Fyrgradientoperatorn av detta tillsammans ger kontinuitetekvationen:
-∂ρ/∂t=∇·j
Fyrdimensionell vektorpotential, definierad som:
A=iφ+A
blir tillsammans med D'Alemberts operator:
(∇²-(1/c²)(∂/∂t²))A
vilket definierar:
(1/c)J
Så för att formulera Faradays lag:
∇×H=∂D/∂t+j
och Coulombs lag:
∇·D=-ρ
så kräver E och B-fälten att tillskrivas utgöras av ett par definierat ortogonala vektorpotential-vektorer i samma dimension, vilket strömdensitetstermen beror på, så:
∂((∂A∥/∂x⊥)-(∂A⊥/∂x∥))/∂x∥=(1/c)J⊥
Dessa tar naturligtvis ut varandra och blir 0 samt tillskrivs utgöras av koordinater i det imaginära planet och dyker därför upp från ingenstans och försvinner igen.
På så sätt kan Lorentzkraften definiera momentum, dp/dt, med:
qE+q/c(V×B)
genom att låta E och B utgöra varandras motparter och transformeras till varandra, för att istället för att transformera Maxwells ekvationer få momentum när man bara byter ut E och B mot varandra, då till att bli fluxdensiteten i endast den observerade dimensionen där Lorentzgaugen antar perfekt proportion mellan E och B, vilket man inte har.
Då ett momentum i kvadratform, definierad med ett rumtidsintervall av blandad tid och rum, trots att detta är vad Maxwells ekvationer definieras med.
