Kapat stuprör

Plåtslagargesällen Einar har fått i uppgift att tillverka en typisk och ofta nyttjad plåtslagarmall. Han lägger därför ett uttjänt stuprör på arbetsbänken och sågar, med bågfilen, ett 45-graders snitt genom röret i närheten av dess utloppsände. Han ställer den utsågade delen på bänken för att kasta ett öga på rörstumpen. Det han såg kan ha sett ut så här.

För Einar återstår nu att, med kortast möjliga snitt (se figur), klippa upp rörstumpen och att därefter veckla ut och platta till plåten.

När detta är gjort lägger Einar plåten på en bit kartong och ritar med pennan nogsamt av den utsågade kurvan.

Beskriv kurvan som Einar ritade på kartongen. Antag att rördiametern var 10 cm.

Hög i mitten sen sluttande åt båda håll som en pyramid

Raka sluttande sidor?

Vilken kurva sorts kurva beskriver den övre randen på rörstumpen (när stumpen fortfarande är hel)?

Är det normalfördelningskurva?

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Normalf%C3%B6rdelning

En viss likhet kan man nog ana, men normalfördelningskurvan är för platt i ändarna.

Titta på röret ovanifrån så det ser ut som en cirkel. låt högsta punkten vara längst upp i bilden. Höjden på röret växer linjärt med "y-koordinaten". Således cosinuskurva. Konstanter och detaljer får du lista ut själv.

Korrekt slutsats, men saknas det inte ett eller annat argument på vägen dit?

Säg att vi från början har två identiska i toppen snedsågade rör. Vi fläker upp ett rör, plattar till det och kopierar toppkurvan på en plan yta. Toppkurvan på det andra röret är uppenbarligen en ellips. Vårt mål är alltså att avbilda en punkt P på ellipsen på en punkt Q på den på den plana kurvan.

Fråga: Varför kan vi avbilda P på Q med en cosinusfunktion?

Uppenbarligen har jag inte skrivit ut alla detaljer (att jag skriver "Konstanter och detaljer får du lista ut själv." borde varit en ledtråd).

Kan förtydliga steget mellan

Höjden på röret växer linjärt med "y-koordinaten".

och

Således cosinuskurva.

Vi har en cirkel i ett plan, med lämpligt valt koordinatsystem så är 'y-koordinaten' för punkter på cirkeln cosinus för en vinkel som har något med punkten på cirkeln att göra...

OK, förstår (tror jag).

Någon annan som vill kommentera?

För den som vill ha en bild att bli inspirerad av bif. denna bild.

Att den plana kurvan på kartongbiten kan beskrivas med en cosinusfunktion kan även påvisas empiriskt.

Tag en papprulle av lämplig storlek och dela rullen, med ett vinklat snitt, med hjälp av brödkniven. Se Bild 1

I nästa steg skall rullen till vänster klippas längs den markerade linjen. Fortsättning följer … Laborera gärna hemma under tiden.

Den klippta rullen är nu naglad mot en pappersklädd spånskiva: Bild 2

Som synes blev resultatet långt ifrån perfekt, men man kan kanske ändå ana att den kurviga kanten av pappbiten kan matcha en cosinuskurva.

Jag bör nog avstå från liknande projekt i fortsättningen. Någon annan som har lyckats bättre?