Mass driver på Månen

Bra länk! Jag funderade tillbaka igen. Jag skrev någonting i stil med att man i teorin kan fånga upp massan med ett rymdskepp i stabil omloppsbana utan att rubba omloppsbanan. Jag visste inte vad Lagrangepunkt 5 var innan din länk, så jag föreställde mig bara en stabil(ish) geostationär bana med ett rymdskepp.
Ovan här så ändrade jag mig då du skrev nej, men jag har funderat och du menar att det inte går med endast massan tror jag, likt min länk ovan som säger att en raket behöver två impulser för att hamna i stabil omloppsbana.
Jag funderade mer på det jag initialt tänkte och kom fram till att du sa nog aldrig någonting som var i strid med det jag tänkte, utan jag var kanske för snabb med att anta att du hade rätt på frågan jag svarade på, när jag då kanske svarade på fel fråga då L5 var någonting annat och du svarade på frågan utan någon hypotetisk massa(rymdskepp) som tar emot massan, likt mitt allra första svar.
Till saken.
För visst, om vi har ett rymdskepp i stabil geostationär bana och skickar upp en ballistisk massa ut över horisonten i en eliptisk bana upp mot rymdskeppets bana, då har vi ju momentum med en, säg mindre massa än rymdskeppet, som med absolut inelastisk kollision med rymdskeppet kan göra detta genom att sammanfoga massorna, men med den ballistiska bassans eliptiska bana så har vi ju hur stora eller små hastighetsvektorer som helst vi kan använda oss av, i alla riktningar. Så visst måste det gå att skicka upp en ballistisk massa till ett passivt rymdskepp i geostationär bana vilket tar emot massan, som efter uppfånget kvarstannar i sin bana?
Jag förvirrade mig själv lite tror jag!
Trevlig helg!

Vi kan förkorta frågan till om det någonstans i en ballistisk bana finns en punkt där rörelseenergin och momentet är noll (annars stör vi mottagarens bana) i förhållande till mottagaren, och det finns det i ett unikt fall. Precis på toppen av en rent radiell kaströrelse i mottagarens referenssystem är detta uppfyllt. Är mottagarens bana geostationär kan vi, om vi står på ekvatorn rakt under, kasta precis rakt upp med en sådan kraft att dr/dt=0 för h=h_{skepp}. Om skeppet inte rör sig en en geostationär bana blir den nödvändiga kaströrelsen betydligt mer komplicerad, men den finns. L5 är ett mer komplicerat fall eftersom den positionen inte är bestämd av vår tunga kropps (månens) masscentrum utan av det reducerade, dynamiska masscentrumet.

Innebär det att om man kastar en kropp rakt upp mot en geostationär punkt så skulle man kunna välja en kastparabel på ett sånt sätt att när kroppen når det geostationära punkten så skulle den stanna kvar där utan yttre impulspåverkan?

Nja. Jag förstår hur du tänker med den radiella kaströrelsen, men nu har du faktiskt fel. Kaströrelsen måste inte bara bevara energin E (pga systemets tidssymmetri), utan även rörelsemängdsmomentet L (pga systemets rotationssymmetri). Eftersom den horisontella hastighetskomponenten skulle öka linjärt med avståndet r från jordens centrum (enl ditt förslag) skulle L öka som r², dvs L blir inte direkt konstant.

Däremot skulle man förstås kunna se till så att L har rätt slutvärde från början genom att snarare skjuta iväg projektilen med en jäkla fart i horisontell riktning -- som i just en railgun. (Fast då skulle den nog brinna upp innan den kom ut ur atmosfären).

Det ovanstående förstås enklast i en ickeroterande referensram. I en roterande måste man istället tänka på att Corioliskraften kommer dra projektilen i sidled.

Se mitt förra svar.

Men glöm kastparabel. Med gravitation från bara en planet blir banan en ellips. Och NEJ, den skulle inte stanna på någon höjd, så jag antar att man kan visa ganska lätt t ex att även om man har rätt L från början så finns det ingen total energi som matchar med att r-komponenten av hastigheten ska bli 0 därmed.

Vilket alltså härmed föreslås som övningsuppgift för den som är hågad.

Nu tycker jag iofs att även Wikipedia ger en bra genomgång av hur Lagrangepunkterna fungerar. Notera dock att L4 och L5 är maxima för pseudopotentialen (= potential + centrifugalterm i den roterande referensramen). Om detta var hela historien skulle L4 och L5 alltså vara instabila. Stabiliteten kommer istället från Corioliskraften, som får alla banor med låg utgångshastighet (relativt L4 eller L5) att vika av och istället librera runt resp punkt.

En intressant aspekt, imho, är att dynamiken är helt analog med hur en laddning rör sig i ett EM-fält. Pseudopotentialen står för E-delen, medan Corioliskraften står för B-delen... Så om du av någon anledning har bättre intuition i plasmafysik så kommer den väl till pass här. (Var just när jag läste en sån kurs som jag själv tyckte att jag fick en bättre förståelse för dynamiken runt L4 och L5.)

Specialfallet är just ett specialfall där L=0 både i ytans och skeppets referenssystem (förutsatt just geostationär bana) och bevarad, men det du säger stämmer givetvis för alla fall där hastigheterna i de ickeradiella riktningarna är skilda från noll. På samma sätt ger startpunkten på ekvatorn (för att kunna stå rakt under den geostationära punkten och få en rent radiell lösning) en unikt enkel lösning utan att accelerationer/krafter från transformationer mellan roterande referenssystem rör till det för mycket.

Visst är det maximum, men det tyckte jag framgick från referensen jag länkade. Just det tyckte jag inte tillförde just den diskussion vi förde. Plasmaliknelsen är bra och librationen har mycket gemensamt med processerna som sker där.

Edit: L-punkterna har en unik dynamik och det du mycket riktigt säger om den framgår också av länken, men jag nöjde mig med att påpeka att det som gäller för en geostationär bana inte gäller för L5.

Nja.. L är inte 0 i något referenssystem öht för en kropp i en geostationär bana. L beräknas inte på samma sätt i ett roterande system som i ett ickeroterande. Och om du inte köper det så kan du ju iaf inte argumentera mot att det är rätt att analysera en bana i en ickeroterande referensram, där L=mr×v. Den geostationära banan är ca 7 ggr längre bort från jordens centrum än vad jordytan är, och med konstant vinkelhastighet (som för ditt förslag) blir alltså även den horisontella komponenten av v ca 7 ggr större, dvs rörelsekonstanten L blir ca 7²=49 gånger större.

Tack för svar! Jag tänkte inte. Jag fick för mig att behandla momentumens komponenter separat. Ugg.



Hur avgör man det?

Om man bygger en massdriver på månen (elektrisk driven så inget bränsle behövs där) och skjuter ut 1ton material till L5. Hur mycket material av dessa 1ton skulle åtgå som raketbränsle för att materialet skulle stanna i L5 om vi antar man använde jonmotorer med en specifik impuls på 2000s (En vanlig raketmotor har ca 300s). Den kalkylen borde ha varit gjord nån gång men jag har inte funnit nånting.

Asså, det är ju en bra fråga, och allt annat här om geostationära banor etc kan ju verka vara Off Topic. Men inte riktigt så, imho, så länge vi talar om relevant fysik, som t ex just om hur det fungerar i en roterande referensram (där t ex L4 och L5 är fixa punkter, om man approximerar månens bana med en cirkel).

Jag vet inte svaret just nu, men kan iaf bidra lite till att knyta ihop säcken så här långt.

1. Den bana du söker är inte elliptisk, pga påverkan från jordens gravitation. Tillräckligt nära månen kan man bortse från jordens påverkan, men just L4 och L5 definieras ju som punkter där bl a månens och jordens gravitation är i balans. (I denna balans ingår då även även centrifugalkraften i det roterande systemet.).

2. Som tidigare påpekats i tråden är L4 och L5 maxima för det roterande systemets effektiva potential (gravitation + centrifugalterm). Om man enbart tar hänsyn till detta, är ditt problem alltså som att skjuta iväg en boll uppför en kulle med precis rätt fart så att den stannar på kullens topp, utan någon extra kraft alls!

3. Men nu har vi även Corioliskraften att ta hänsyn till, eftersom detta är ett roterande system. Denna är viktig i detta fall, är t o m just denna som gör L4 och L5 (pseudo-) stabila. Om en partikel startar från stillastående nära pseudopotentialens topp, så börjar den falla bort från denna, men ju mer fart den får, desto mer styr Corioliskraften partikeln åt sidan. Denna kraft är linjärt beroende på hastigheten och är vinkelrät mot hastigheten, så resultatet blir en spiraliserande rörelse nära L-punkten.
Hur påverkar detta möjligheten till att skjuta upp något till L4 eller L5? Jag vet inte, inte än iaf, och kan alltså inte just nu svara mer detaljerat på din fråga.

Därför att med L=mr×v (där v=dr/dt) i ickeroterande koordinater r(x,y), så får man inte samma resultat som om beräknar L med L'=mr'×v' i roterande koordinater r'=(x',y') (där v'=dr'/dt). Om L är en rörelsekonstant för en viss bana så är som regel L' inte konstant för samma rörelse, och vice versa.

Detaljer:
Sambandet mellan de ickeroterande r och de roterande r' kan skrivas som
x = cos(ωt)x' - sin(ωt)y'
y = sin(ωt)x' + cos(ωt)y' .
Från definitionen av L i de ickeroterande koordinaterna får vi alltså att L per massenhet ges av
L/m = r × v = r×dr/dt = x dy/dt - y dx/dt = x'dy'/dt - y'dx'/dt + ω(x'²+y'²)

De första två termerna motsvarar r'×v', men sen har vi ju extratermen ω(x'²+y'²) som sabbar likheten. Bl a innebär denna att en partikel som står still i det roterande systemet, dvs med dx'/dt=0 och dy'/dt=0, så blir L ändå ω(x'²+y'²), skilt från 0 om ω≠0 och om avståndet²=x'²+y'²≠0.

Men varför är det då uttrycket i just det ickeroterande systemet som är rätt och som ger en rörelsekonstant? Svaret till det finns i analytisk mekanik och närmare bestämt i Emmy Noethers teorem.